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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品を同時に開発しており,各新製品の開発に成功する確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$である.すべての開発の結果が出た後に企業$\mathrm{X}$が存続できるための必要十分条件は,$n$個のうち$1$個以上の新製品の開発に成功していることである.ただし,各新製品の開発は独立な試行であるとする.企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品すべての開発に失敗する確率を$p_n$,また企業$\mathrm{X}$が存続できる確率を$q_n$とする.以下では,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.

(1)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(2)$q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ.
(3)$\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ.
大阪薬科大学 私立 大阪薬科大学 2014年 第1問
次の問いに答えなさい.

(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と,半径$3$の球の体積が等しいとき,$h=[$\mathrm{A]$}$である.
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.このとき,$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である.
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき,$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である.ただし,どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする.
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において,辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき,$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である.
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき,関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい.
大阪教育大学 国立 大阪教育大学 2011年 第4問
次のようなゲームを考える.成功の確率が$p \ (0<p<1)$,失敗の確率が$q \ (=1-p)$であるような試行をAとBの2人が行い,先に成功した方を勝ちとする.なお,Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき,ゲームはAに有利であるといい,Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき,ゲームは公平であるという.このとき,次の問に答えよ.

(1)Aから始めて,以後交互に試行を行う.すなわち,ABABAB$\cdots$という順で試行を行う.このとき,$p$の値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ.
(2)Aから始めるが,Aが1回に対して,Bは2回試行を行えるとする.すなわち,ABBABB$\cdots$という順で試行を行う.$p$がどのような値のとき,ゲームは公平になるか.
(3)(2)において,ゲームが公平であるとき,$q$についての等式$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$が成り立つことを示せ.
産業医科大学 私立 産業医科大学 2011年 第1問
空欄にあてはまる適切な数,式,記号などを記入しなさい.

(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$,$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき,$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[ ]$である.
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[ ]$である.
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[ ]$である.
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$,$\ell_2$とする.放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[ ]$である.ただし,この図形は原点を含むものとする.
(5)$x$を正の実数とするとき,関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[ ]$である.
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[ ]$である.
(7)バスケットボールのフリースローを,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて,成功した回数が多い方が勝ちとする.$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき,$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[ ]$である.ただし,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える.
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある.カードをもとに戻すことなく,$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し,左から順に横に一列に並べる.このとき,数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[ ]$である.ただし,$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする.
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