「成分」について
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（8ページ目：全83問中71問～80問を表示）
国立 埼玉大学 2010年 第1問行列$A = \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す1次変換$f$は，点$(1,\ 1)$を点$(2,\ 3)$に，点$(2,\ -1)$を点$(2k,\ -k-1)$に移すとする．また，原点をOとし，点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を$f$で移した点をそれぞれP，Qとする．
(1)$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle$POQが直角となる$k$を求めよ．
(3)$\text{OP}=\text{OQ}$となる$k$を求めよ．
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す1次変換$f$は，点$(1,\ 1)$を点$(2,\ 3)$に，点$(2,\ -1)$を点$(2k,\ -k-1)$に移すとする．また，原点をOとし，点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を$f$で移した点をそれぞれP，Qとする．
(1)$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle$POQが直角となる$k$を求めよ．
(3)$\text{OP}=\text{OQ}$となる$k$を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第1問行列$A = \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す1次変換$f$は，点$(1,\ 1)$を点$(2,\ 3)$に，点$(2,\ -1)$を点$(2k,\ -k-1)$に移すとする．また，原点をOとし，点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を$f$で移した点をそれぞれP，Qとする．
(1)$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle$POQが直角となる$k$を求めよ．
(3)$\text{OP}=\text{OQ}$となる$k$を求めよ．
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す1次変換$f$は，点$(1,\ 1)$を点$(2,\ 3)$に，点$(2,\ -1)$を点$(2k,\ -k-1)$に移すとする．また，原点をOとし，点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を$f$で移した点をそれぞれP，Qとする．
(1)$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle$POQが直角となる$k$を求めよ．
(3)$\text{OP}=\text{OQ}$となる$k$を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第3問$xyz$座標空間に，下図のように一辺の長さ1の立方体OABC-DEFGがある．この立方体を$xy$平面上の直線$y = -x$のまわりに，頂点Fが$z$軸の正の部分にくるまで回転させる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)回転後の頂点Bの座標を求めよ．
(2)回転後の頂点A，Gで定まるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$の成分を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)回転後の頂点Bの座標を求めよ．
(2)回転後の頂点A，Gで定まるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$の成分を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 九州大学 2010年 第5問実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$を考える．平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対し，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$が放物線$9X = 2Y^2$全体の上を動くという．このとき，行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$は常に円$X^2+(Y-1)^2=1$の上にあるという．このとき，行列$A$を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$がある直線$L$全体の上を動くための$a,\ b,\ c,\ d$についての条件を求めよ．また，その条件が成り立っているとき，直線$L$の方程式を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$を考える．平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対し，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$が放物線$9X = 2Y^2$全体の上を動くという．このとき，行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$は常に円$X^2+(Y-1)^2=1$の上にあるという．このとき，行列$A$を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$がある直線$L$全体の上を動くための$a,\ b,\ c,\ d$についての条件を求めよ．また，その条件が成り立っているとき，直線$L$の方程式を求めよ．
国立 筑波大学 2010年 第4問点Oを原点とする座標平面上に，2点A$(1,\ 0)$，B$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (90^\circ<\theta<180^\circ)$をとり，以下の条件をみたす2点C，Dを考える．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1 \]
また，$\triangle$OABの面積を$S_1$，$\triangle$OCDの面積を$S_2$とおく．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めよ．
(2)$S_2=2S_1$が成り立つとき，$\theta$と$S_1$の値を求めよ．
(3)$S=4S_1+3S_2$を最小にする$\theta$と，そのときの$S$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1 \]
また，$\triangle$OABの面積を$S_1$，$\triangle$OCDの面積を$S_2$とおく．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めよ．
(2)$S_2=2S_1$が成り立つとき，$\theta$と$S_1$の値を求めよ．
(3)$S=4S_1+3S_2$を最小にする$\theta$と，そのときの$S$の値を求めよ．
国立 徳島大学 2010年 第2問実数を成分にもつ2次の正方行列について，次の問いに答えよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr), O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{cc}
c & -d \\
d & c
\end{array} \biggr)$が$AB=O$を満たすとき，$A=O$または$B=O$が成り立つことを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
p & -q \\
q & p
\end{array} \biggr)$のとき，$X^2=-E$を満たす$p,\ q$をすべて求めよ．
(3)$Y=\biggl( \begin{array}{cc}
r & -s \\
s & r
\end{array} \biggr)$のとき，$Y^3=E$を満たす$r,\ s$をすべて求めよ．
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr), O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{cc}
c & -d \\
d & c
\end{array} \biggr)$が$AB=O$を満たすとき，$A=O$または$B=O$が成り立つことを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
p & -q \\
q & p
\end{array} \biggr)$のとき，$X^2=-E$を満たす$p,\ q$をすべて求めよ．
(3)$Y=\biggl( \begin{array}{cc}
r & -s \\
s & r
\end{array} \biggr)$のとき，$Y^3=E$を満たす$r,\ s$をすべて求めよ．
国立 三重大学 2010年 第4問$X$を2次の正方行列として以下の問いに答えよ．
(1)$p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする．$\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)$ならば，$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
a^n & na^{n-1}b \\
0 & a^n
\end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．
(3)$m,\ n$を自然数とする．$X$の各成分は0以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
2^{m+1} & 2^{50} \\
0 & 2^{m+1}
\end{array} \biggr)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(1)$p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする．$\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)$ならば，$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
a^n & na^{n-1}b \\
0 & a^n
\end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．
(3)$m,\ n$を自然数とする．$X$の各成分は0以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
2^{m+1} & 2^{50} \\
0 & 2^{m+1}
\end{array} \biggr)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．
国立 三重大学 2010年 第4問$x$の微分可能な関数を成分とする行列$M=\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array} \biggr)$に対し，$M$の各成分を$x$で微分した行列$\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11}^{\prime} & m_{12}^{\prime} \\
m_{21}^{\prime} & m_{22}^{\prime}
\end{array} \biggr)$を$M^{\prime}$と表す．$a_{11},\ a_{12},\ a_{21},\ a_{22}$および$b_{11},\ b_{12},\ b_{21},\ b_{22}$を$x$の微分可能な関数とし，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \biggr) \]
とおく．
(1)等式$(AB)^\prime =A^\prime B+AB^\prime$が成り立つが，これを$(1,\ 2)$成分について確かめよ．
(2)$A$はすべての$x$について逆行列$A^{-1}$を持つとする．このとき(1)の等式を用いて，$A^\prime A^{-1}+A(A^{-1})^\prime$を求めよ．
(3)$A$はすべての$x$について逆行列を持つとする．$(A^{-1})^\prime$を$A^{-1},\ A^\prime$を用いて表せ．
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array} \biggr)$に対し，$M$の各成分を$x$で微分した行列$\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11}^{\prime} & m_{12}^{\prime} \\
m_{21}^{\prime} & m_{22}^{\prime}
\end{array} \biggr)$を$M^{\prime}$と表す．$a_{11},\ a_{12},\ a_{21},\ a_{22}$および$b_{11},\ b_{12},\ b_{21},\ b_{22}$を$x$の微分可能な関数とし，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \biggr) \]
とおく．
(1)等式$(AB)^\prime =A^\prime B+AB^\prime$が成り立つが，これを$(1,\ 2)$成分について確かめよ．
(2)$A$はすべての$x$について逆行列$A^{-1}$を持つとする．このとき(1)の等式を用いて，$A^\prime A^{-1}+A(A^{-1})^\prime$を求めよ．
(3)$A$はすべての$x$について逆行列を持つとする．$(A^{-1})^\prime$を$A^{-1},\ A^\prime$を用いて表せ．
国立 徳島大学 2010年 第4問行列$A$で表される移動によって，点$(x,\ y)$は点$(x+y,\ x-y)$に移る．行列$B$で表される移動によって，点$(x,\ y)$は点$(2x+y+ax,\ x+2y-ay)$に移る．行列$X$が$AX=B$を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$X$の逆行列が存在しないような$a$の値を求めよ．
(2)$a$が整数で，行列$X^{-1}$のすべての成分が整数になるような$a$をすべて求めよ．
(1)$X$の逆行列が存在しないような$a$の値を求めよ．
(2)$a$が整数で，行列$X^{-1}$のすべての成分が整数になるような$a$をすべて求めよ．
国立 東京農工大学 2010年 第2問$a,\ b$を実数とする．行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-5 & -3 \\
6 & 4
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1& 0 \\
0 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
a & b
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．
(1)$AP=PB$を満たすように実数$a,\ b$を定めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)$A^n$の成分のうち最大のものを$a_n$とする．$a_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k-1}+2a_{2k})r^k$とおく．数列$\{S_n\}$が収束するような実数$r$の範囲を求め，そのときの極限値$S=\lim_{n \to \infty}S_n$を$r$の式で表せ．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-5 & -3 \\
6 & 4
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1& 0 \\
0 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
a & b
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．
(1)$AP=PB$を満たすように実数$a,\ b$を定めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)$A^n$の成分のうち最大のものを$a_n$とする．$a_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k-1}+2a_{2k})r^k$とおく．数列$\{S_n\}$が収束するような実数$r$の範囲を求め，そのときの極限値$S=\lim_{n \to \infty}S_n$を$r$の式で表せ．