座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．

(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$\Delta (A)=ad-bc$とおく．たとえば単位行列$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (E)=1 \times 1-0 \times 0=1$となる．また$K=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
5 & 7
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (K)=2 \times 7-3 \times 5=-1$となる．次の各問いに答えよ．

(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & 3
\end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$に対して$R=PQ$とおく．$\Delta (P),\ \Delta (Q),\ \Delta (R)$を計算し，$\Delta (R)=\Delta (P) \Delta (Q)$が成り立つことを確かめよ．
(2)すべての$2$次の正方行列$A,\ B$に対して，$C=AB$とおくと$\Delta (C)=\Delta (A) \Delta (B)$が成り立つことを示せ．
(3)$X^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$となる$2$次の正方行列$X$ですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ．
(4)$2$次の正方行列$A$に逆行列$B$が存在したとする．$A$と$B$の成分がすべて整数ならば，$\Delta (A)$は$1$か$-1$のどちらかである．このことを示せ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，
\[ A^3-3A+2E=O,\quad A \neq -2E \text{かつ}a+d \neq 2 \]
を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty r_n$の和を求めよ．

以下の命題が真であれば証明し，偽であれば反例をあげて偽であることを説明しなさい．

(1)$p$を，$4$で割ると$3$余る素数とする．このとき，$2p+1$は$3$の倍数であるか，または素数である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の成分と，$A$の逆行列$A^{-1}$の成分がすべて整数であるとする．このとき，$|ad-bc|=1$である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & -\cos \alpha
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & \sin \beta \\
\sin \beta & -\cos \beta
\end{array} \right) (0<\beta<\alpha<2\pi)$の積$AB$の$(1,\ 1)$成分は$\theta=\alpha-\beta$を用いて表すと$[　]$となり，$(1,\ 2)$成分は$\theta$を用いて表すと$[　]$となる．ここで点$\mathrm{P}_1(\sqrt{2},\ \sqrt{2})$が$AB$で表される$1$次変換によって点$\displaystyle \mathrm{P}_2 \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \right)$に移るとすると$\theta=[　]$となる．このとき，${(AB)}^{25}$で表される$1$次変換によって点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[　]$となり，$((AB)^{-1})^{2013}$で点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[　]$となる．
(2)関数$f(x)=(ax^2+bx)e^{-x^2}$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大値$1$をとるとする．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$であり，$f(x)>0$を満たす範囲は$0<x<[　]$となる．この区間で関数$g(x)=\log f(x)$を考える．曲線$C:y=g(x)$の点$\displaystyle \left( 1,\ -\frac{3}{4} \right)$における接線の方程式は$y=[　]$となり，曲線$C$と直線$y=k$が共有点をもたない$k$の値の範囲は$[　]$となる．

$a,\ b,\ c$は$0$でない実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$BAB$は対角行列，かつ，$B^2$は単位行列とするとき，$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
q & r
\end{array} \right)$の成分はすべて実数であることを示せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{5}{8},\ b=-\frac{1}{2},\ c=\frac{1}{3}$とする．自然数$n$に対して$\left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
3 \\
4
\end{array} \right)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=0$かつ$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=0$を示せ．

$A,\ B,\ P$を実数を成分とする$2$次の正方行列とする．$P$は逆行列をもち，$P^{-1}AP$の$(1,\ 2)$成分と$(2,\ 1)$成分は$0$となるものとする．$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc}
a_1 & 0 \\
0 & a_2
\end{array} \right)$，$P^{-1}BP=\left( \begin{array}{cc}
b_1 & b_2 \\
b_3 & b_4
\end{array} \right)$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)$a_1 \neq a_2$かつ$AB=BA$が成り立つとき，$b_2=b_3=0$であることを示しなさい．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
c & 1 \\
-1 & -1
\end{array} \right)$とするとき，$a_1,\ a_2,\ c$の値を求めなさい．
(3)$A,\ P$を(2)で与えた行列とし，$B=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$とする．正の整数$m,\ n$に対し，$(A^m+B^m)^n$を求めなさい．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が次の条件(D)を満たすとする．

\mon[(D)] $A$の成分$a$，$b$，$c$，$d$は整数である．また，平面上の4点$(0,\ 0)$，$(a,\ b)$，$(a+c,\ b+d)$，$(c,\ d)$は，面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす．

$B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ．
(2)$c=0$ならば，$A$に$B$，$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより，4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ．
(3)$|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする．$BA$，$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は，それを$\biggl( \begin{array}{cc}
x & y \\
z & w
\end{array} \biggr)$とすると
\[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \]
を満たすことを示せ．

$2$次の正方行列$A,\ B$はそれぞれ
\begin{eqnarray}
A \left( \begin{array}{r}
-3 \\
5
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right), & & \quad A \left( \begin{array}{r}
7 \\
-9
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right), \nonumber \\
B \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-5 \\
6
\end{array} \right), & & \quad B \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-7 \\
10
\end{array} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
をみたすものとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列を表すものとする．

(1)行列$A,\ B,\ A^2,\ B^2$を求めよ．
(2)$(AB)^3 = E$であることを示せ．
(3)行列$A$から始めて，$B$と$A$を交互に右から掛けて得られる行列
\[ A,\ AB,\ ABA,\ ABAB,\ \cdots \]
および行列$B$から始めて，$A$と$B$を交互に右から掛けて得られる行列
\[ B,\ BA,\ BAB,\ BABA,\ \cdots \]
を考える．これらの行列の内で，相異なるものをすべて成分を用いて表せ．

$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を負でない実数を成分とする行列とし，$C$を原点を中心とする半径5の円とする．円$C$上の任意の点$(x,\ y)$に対して$\biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr)$で与えられる$X,\ Y$は常に$9X^2-16Y^2=0$をみたしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr)$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$c=0$のとき，$b$を$d$で表せ．
(3)$A \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr)$となる$A$を1つ求めよ．