$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円$C$の内側を半径$1$の円$C^\prime$が内接しながら滑ることなく転がるとき，円$C^\prime$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を$X$とする．ただし，点$\mathrm{P}$のはじめの位置は点$\mathrm{P}_0(4,\ 0)$とする．円$C^\prime$の中心$\mathrm{O}^\prime$が原点$\mathrm{O}$の周りを$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OO}^\prime}$の成分を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$における曲線$X$の接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さは一定であることを示せ．ただし，点$\mathrm{P}$は座標軸上の点ではないものとする．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$\Delta (A)=ad-bc,\ t(A)=a+d$と定める．

(1)$2$次の正方行列$A,\ B$に対して，$\Delta(AB)=\Delta(A) \Delta(B)$が成り立つことを示せ．
(2)$A$の成分がすべて実数で，$A^5=E$が成り立つとき，$x=\Delta(A)$と$y=t(A)$の値を求めよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

$a$を実数とする．行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & 3 \\
-2 & -1
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 3 \\
-1 & -2
\end{array} \right) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$P^{-1}AP$の$(1,\ 2)$成分と$(2,\ 1)$成分が等しくなるような$a$の値を求めよ．
(2)$a$を(1)で求めた値とするとき，自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
(3)$a$を(1)で求めた値とするとき，$A^n$が表す$1$次変換によって，$xy$平面上の$2$点$\mathrm{Q}(1,\ -1)$と$\mathrm{R}(0,\ 2)$とが移る$2$点を通る直線を$L_n$とおく．$L_n$の$y$切片を$y_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．

空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 0,\ 0)$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を考える．$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1$で，$\overrightarrow{b}$は$xy$平面上にあり，その$y$成分は正とする．また，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とおく．

(1)$|p|<1$であることを示せ．また，$p$を用いて$\overrightarrow{b}$の成分表示を書け．
(2)$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$は相異であり，
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}=p \]
をみたすとする．$\overrightarrow{c}$の$z$成分が正のとき，$p$を用いて$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$の成分表示を書け．
(3)上の条件に加えて$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}=p$であるとき$p$の値を求めよ．

1次関数$f(x)=px+q$に対して，$x$の係数$p$と定数項$q$を成分にもつベクトル$(p,\ q)$を$\overrightarrow{f}$とする．つまり，$\overrightarrow{f}=(p,\ q)$とする．次の問いに答えよ．

(1)定積分
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (kx+l)(mx+n) \, dx \]
を求めよ．ただし，$k,\ l,\ m,\ n$は定数である．
(2)2つの1次関数$g(x)$と$h(x)$に対して，等式
\[ \frac{1}{2 \sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x)h(x) \, dx=\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h}$はベクトル$\overrightarrow{g}$，$\overrightarrow{h}$の内積を表す．
(3)等式
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)^2 \, dx \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \{g(x)\}^2 \, dx=\left\{ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)g(x) \, dx \right\}^2 \]
を満たし，$g(0)=-2$であるような1次関数$g(x)$を求めよ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，$A^3-3A+2E=O$，$A \neq -2E$かつ$a+d \neq 2$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$\mathrm{P}(x(t),\ y(t))$が
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x(t)=e^t \cos t \\
y(t)=e^t \sin t
\end{array} \right. \]
で与えられている．

(1)時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は，ある$2 \times 2$行列$A$によって
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime(t) \\
y^\prime(t)
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
と表すことができる．この行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく．このとき，$n \geqq 1$に対し，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^{(n)}(t) \\
y^{(n)}(t)
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
となることを，数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，点$\mathrm{A}(-4,\ 8,\ 2)$を通りベクトル$\overrightarrow{u}=(3,\ 0,\ 1)$に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{B}(10,\ 3,\ -4)$を通りベクトル$\overrightarrow{v}=(-1,\ 3,\ 0)$に平行な直線を$m$とする．$\mathrm{P}$を$\ell$上の点とし，$\mathrm{Q}$を$m$上の点とする．このとき，実数$s,\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=t \overrightarrow{v}$と表すことができる．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の成分を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\ell$と$m$は共有点をもたないことを証明せよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の両方に垂直となるとき，点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく．また，$2$次の単位行列を$E$で表す．以下の各問に答えよ．

(1)$A^3=E$を示せ．
(2)$r$を実数とする．自然数$k$に対して，行列$(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}$の$(1,\ 1)$成分を$a_k$とおくとき，$a_k$を$r$を用いて表せ．
(3)自然数$N$に対して$\displaystyle x_N=2 \sum_{k=0}^N a_k$とする．ただし$a_k$は，$k \geqq 1$のときは(2)で定めたものとし，$k=0$のときは$\displaystyle a_0=1-\frac{1}{2}r-\frac{1}{2}r^2$とおく．$-1<r<1$のとき，$\displaystyle f(r)=\lim_{N \to \infty}x_N$を求めよ．
(4)$r$が$-1<r<1$の範囲を動くとき，(3)で定めた$f(r)$のとりうる値の範囲を求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．

(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．