互いに平行ではない平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$について，ベクトルの和の結合法則
\[ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \]
が成立していることを，有向線分を用いた図で確かめよ．ただし，成分を用いてはならない．

$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 1)$，$\mathrm{P}_2(1,\ 2)$があり，以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$をすべて満たすように$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$，$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$，$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$，$\cdots$を定めるものとする．

$(ⅰ)$ $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}|=\frac{1}{3} |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1}}| \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$(ⅱ)$ $\displaystyle \angle \mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{\pi}{4} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$(ⅲ)$ $x_n \geqq x_{n-1} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$

このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4}$を成分で表しなさい．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k-1} \mathrm{P}_{2k}} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k} \mathrm{P}_{2k+1}} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=X$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=Y$とおく．このとき$n$を限りなく大きくすると，点$\mathrm{P}_n$は点$\mathrm{P}(X,\ Y)$に限りなく近づいていく．$X,\ Y$を求めなさい．

実数を成分とする正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 2
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)$AB=BA$を満たす$A$は，実数$x,\ y$を用いて$A=xB+yE$と表せることを示せ．
(2)$A^3=E$のとき
\[ (t^2-\Delta)A=(t \Delta+1)E \]
を示せ．ただし，$t=a+d$，$\Delta=ad-bc$とする．
(3)$AB=BA$かつ$A^3=E$を満たす$A$をすべて求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし，$b \neq 0$とする．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし，列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$s$を行列$A$の成分を用いて表せ．
(2)$t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ．
(3)$\left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=BX$とし，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & u \\
t & v
\end{array} \right)$とするとき，行列$P$は逆行列をもち，
\[ AP=P \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right) \]
を満たすことを示せ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし，$b \neq 0$とする．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし，列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$s$を行列$A$の成分を用いて表せ．
(2)$t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ．
(3)$\left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=BX$とし，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & u \\
t & v
\end{array} \right)$とするとき，行列$P$は逆行列をもち，
\[ AP=P \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right) \]
を満たすことを示せ．

実数を成分とする$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$T(A)=a+d$，$\Delta(A)=ad-bc$と定める．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．

(1)等式$A^2-T(A)A+\Delta(A)E=O$が成り立つこと（ハミルトン・ケーリーの定理）を示せ．
(2)実数を成分とする$2$次の正方行列$X,\ Y$が$XY-YX=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を満たすとし，$\alpha=T(X)$，$\beta=\Delta(X)$とおく．

(i) $X^2Y-YX^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(ii) $(X^2Y-YX^2)^2=E$，$X^4+X^2+E=O$が成り立つとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，実数$k$に対し，$A^2-kA=(k-3)E$を満たすとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)$b \neq 0$または$c \neq 0$のとき，$a+d$および$ad-bc$を$k$を用いた式で表せ．
(2)実数$k$が$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)$を満たすとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を定数として，$bc$が最大となるような$a,\ d$とそのときの$bc$を$k$を用いた式で表せ．また，そのような行列$A$の例を$k$を用いて$1$つあげよ．
(4)$k$を定数として，行列$A$は$bc$が最大となる行列とする．行列$A$で表される$1$次変換が，直線$y=kx$上の各点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}$自身に移すとすると，$A=E$となることを示せ．

$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ y,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ \sqrt{5})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において，$y>0$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき$y$の値を求めると$y=[　]$である．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を成分で表すと$[　]$である．

$A,\ B$は共に実数を成分とする$2$次の正方行列で，条件
\[ AB=\left( \begin{array}{cc}
4 & -1 \\
-6 & 3
\end{array} \right),\quad A^{-1}B=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{6} & \displaystyle\frac{1}{3} \\
-\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{3} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right) \]
を満たすものとする．

(1)$B^{-1}A=\left( \begin{array}{cc}
\mkakko{ア} & -\mkakko{イ} \\
\mkakko{ウ} & -\mkakko{エ}
\end{array} \right)$である．

(2)$A^2=\left( \begin{array}{cc}
\mkakko{オ} & -\mkakko{カ} \\
\mkakko{キ} & \mkakko{ク}
\end{array} \right)$である．

(3)条件を満たす$A$は以下の$4$つである．
\[ A=\pm \left( \begin{array}{cc}
\mkakko{ケ} & -\displaystyle\frac{\mkakko{コ}}{\mkakko{サ}} \\
\mkakko{シ} & \mkakko{ス} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right),\quad \pm \left( \begin{array}{cc}
\mkakko{セ} & \mkakko{ソ} \\
\mkakko{タ} & -\mkakko{チ} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right) \]

実数を成分とする$2$次正方行列$A$の逆行列は存在しないとする．$2$次正方行列$X$は$XAX=X$かつ$AX=XA$かつ$A^3X=A^2$を満たすとする．$A^2 \neq \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$2$次正方行列$Y$が$YAY=Y$かつ$AY=YA$かつ$A^3Y=A^2$を満たすとき，$Y=X$であることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$のとき，$X$を求めよ．