「恒等式」について
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公立 九州歯科大学 2014年 第2問$x$についての$n$次多項式$f(x)$が恒等式$f(x^3)=x^4f(x+1)-15x^5-10x^4+5x^3$をみたすとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(0)$，$f(-1)$，$f(-8)$の値を求めよ．
(2)$n$の値を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(1)$f(0)$，$f(-1)$，$f(-8)$の値を求めよ．
(2)$n$の値を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
公立 県立広島大学 2014年 第3問初項$3$，公比$2$の等比数列を$\{a_n\}$とし，
\[ S_n=\sum_{i=1}^n (\log_{a_i}2) \cdot (\log_{a_{i+1}}2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$が$x$についての恒等式になる定数$A,\ B$を求めよ．
(3)$S_n<\log_32$となることを示せ．
(4)$\displaystyle |S_n-\log_32|<\frac{1}{1000}$となる最小の$n$を求めよ．
\[ S_n=\sum_{i=1}^n (\log_{a_i}2) \cdot (\log_{a_{i+1}}2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$が$x$についての恒等式になる定数$A,\ B$を求めよ．
(3)$S_n<\log_32$となることを示せ．
(4)$\displaystyle |S_n-\log_32|<\frac{1}{1000}$となる最小の$n$を求めよ．
国立 大分大学 2013年 第4問$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし，$k>0$とする．$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$f(0)=9$，$f(-1)=16$をみたす．また，関数$f(x)$について，$x$に関する恒等式
\[ f^\prime(x)=6x-9k-4+\int_0^k f(t) \, dt \]
が成り立つ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数とする．
(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)$k$の値を求めなさい．
\[ f^\prime(x)=6x-9k-4+\int_0^k f(t) \, dt \]
が成り立つ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数とする．
(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)$k$の値を求めなさい．
私立 成城大学 2013年 第1問$x$の多項式$f(x)$について，$t$についての恒等式
\[ f(t)+f(t^2+t)=tf(t)+3t-2 \]
が成り立つとする．
(1)$f(x)$は何次式か．
(2)$f(x)$を求めよ．
\[ f(t)+f(t^2+t)=tf(t)+3t-2 \]
が成り立つとする．
(1)$f(x)$は何次式か．
(2)$f(x)$を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2013年 第6問$\displaystyle f(x)=\frac{6x^2+4x+1}{(x+1)(2x^2+1)}$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)等式$\displaystyle f(x)=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{2x^2+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
(1)等式$\displaystyle f(x)=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{2x^2+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2013年 第7問次の等式が$x$の恒等式になるような$a,\ b$を求めよ．
\[ \cos x+\cos (a+x)+\cos (b+x)=0 \]
ただし，$0 \leqq a \leqq \pi \leqq b \leqq 2\pi$とする．
\[ \cos x+\cos (a+x)+\cos (b+x)=0 \]
ただし，$0 \leqq a \leqq \pi \leqq b \leqq 2\pi$とする．
私立 青森中央学院大学 2012年 第3問等式$\displaystyle \frac{4}{1-x^4} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x} + \frac{C}{1+x^2}$が$x$についての恒等式となるように，定数$A,\ B,\ C$を定める．定数$C$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2012年 第3問等式$\displaystyle \frac{4}{1-x^4}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}+\frac{C}{1+x^2}$が$x$についての恒等式となるように，定数$A$，$B$，$C$を定める．定数$C$の値を求めよ．
私立 学習院大学 2012年 第3問等式
\[ \frac{1}{x^3-x}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x+1} \]
が恒等式となるように定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．また，それを利用して
\[ \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^3-n} \]
を求めよ．
\[ \frac{1}{x^3-x}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x+1} \]
が恒等式となるように定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．また，それを利用して
\[ \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^3-n} \]
を求めよ．
公立 高知工科大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．
(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．