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鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2011年 第4問
$f(x)$は数直線上の連続関数で,次の条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$をみたすものとする.

$(ⅰ)$ $f(x)$は周期1の周期関数,すなわち,すべての$x$で$f(x+1)=f(x)$が成り立つ.
$(ⅱ)$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$

次の各問いに答えよ.

(1)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$をみたす恒等的に$0$でない連続関数$f(x)$の例を$1$つ挙げよ.
(2)$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(y) \, dy$とおくと,$F(x)$も周期$1$の周期関数であることを示せ.
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\displaystyle \frac{d}{dx}F(nx)$を$f$を用いて表せ.
(4)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^1 xf(nx) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ.
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「恒等」とは・・・

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