$a$を実数として，$2$つの不等式

$x^2-y^2 \geqq 0 \qquad\qquad\qquad\quad\, \cdots\cdots (\mathrm{A})$
$(x-a-1)^2+y^2 \leqq a^2 \qquad \cdots\cdots (\mathrm{B})$

を考える．

(1)平面上で$(\mathrm{A})$の定める領域を図示せよ．
(2)実数$x,\ y$について，$(\mathrm{A})$が成り立つことが$(\mathrm{B})$が成り立つことの必要条件となるような$a$の範囲を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=10$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{5}$であり，この三角形は円$\mathrm{O}$に内接している．また点$\mathrm{A}$における円$\mathrm{O}$の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{20}{3}$である．次の問いに答えなさい．

(i) $\mathrm{DC}=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}}{\mkakko{$\mathrm{c}$}}$，$\mathrm{AB}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}$である．
(ii) 円$\mathrm{O}$の半径は$\mkakko{$\mathrm{f}$}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}}{\mkakko{$\mathrm{i}$}}$である．

(2)実数$x$に対して$3$つの条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．ただし$a$は定数である．

$\mathrm{P}:2x-5 \geqq x+6$
$\mathrm{Q}:x^2-(2a-1)x+a^2-a-12 \leqq 0$
$\mathrm{R}:13 \leqq x \leqq 16$

次の問いに答えなさい．

(i) $\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \leqq a$であり，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \leqq a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}$である．
(ii) $(ⅰ)$より，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件で，かつ$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となることを満たす定数$a$のうち整数は，小さい順に$\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}$，$\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}$，$\mkakko{$\mathrm{t}$} \mkakko{$\mathrm{u}$}$である．

正の実数$x,\ y,\ z$に関する，次の$3$つの条件を考える．

$p:2^x=3^y=6^z$
$q:2^x=3^y$
$\displaystyle r:\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$


(1)$p$は$r$の十分条件であることを証明せよ．
(2)$p$は$r$の必要条件ではないことを証明せよ．
(3)$p$は「$q$かつ$r$」の必要条件であることを証明せよ．

$x,\ y,\ z$を実数とするとき，次の$(1)$～$(6)$までの文中の空欄に当てはまるものを$(ｱ)$～$(ｴ)$から一つ選べ．

(1)$xyz=0$は$xy=0$の$[　]$．
(2)$x+y+z=0$は$x+y=0$の$[　]$．
(3)$x(y^2+1)=0$は$x=0$の$[　]$．
(4)$x^2+y^2=0$は$|x-y|=x+y$の$[　]$．
(5)$xy<0$は$|x+y|>x+y$の$[　]$．
(6)$(x^2+y^2)(x^2+z^2)=0$は$x=0$の$[　]$．


\mon[(ｱ)] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[(ｲ)] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[(ｳ)] 必要十分条件である
\mon[(ｴ)] 必要条件でも十分条件でもない

$a$を実数とする．絶対値を含む式$|x-a|x-a |x-a|$は，以下の$(1)$と$(2)$のように$2$通りの解釈が可能である．それぞれの解釈のもとで，方程式
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える．

(1)$|x-a|x-a |x-a|$を，絶対値$|x-a|$と$x$の積から，$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する．このとき，上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる．
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である．また，この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである．
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで，上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である．$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[　]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[　]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x<2\pi$において，$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．

(i) $n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$．
(ii) $n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$[リ]$．

次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は異なる$3$点，$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であるとする．このとき，
\[ \mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2=2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{OM}^2) \]
であることを証明せよ．
(2)$xy$平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$\mathrm{O}_3$，$xy$平面の$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円を$\mathrm{O}_4$とする．さらに$\mathrm{AB}$は$xy$平面上の長さ$6$の線分，$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であるとする．次の条件$p,\ q$を考える．

$p:2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}_4$の内部にある．
$q:$点$\mathrm{M}$は$\mathrm{O}_3$の内部にある．

このとき，次の問に答えよ．

(i) $p$は$q$であるための十分条件であることを証明せよ．
(ii) $p$は$q$であるための必要条件ではないことを証明せよ．

次の$[　]$に当てはまるものを下記の$①$～$④$のうちから一つ選び，その番号をマークせよ．ただし，同じものをくり返し選んでもよい．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．条件$p,\ q,\ r,\ s,\ t$を次のように定める．
$p:$方程式$ax^2+bx+c=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
$q:$座標平面で関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる．
$r:ac<0$である．
$s:b^2-ac>0$である．
$t:(a+b+c)(a-b+c)<0$である．

このとき，$q$は$p$の$[ケ]$．$r$は$q$の$[コ]$．$s$は$p$の$[サ]$．$t$は$q$の$[シ]$．
\[ \begin{array}{ll}
① \text{必要十分条件である} & ② \text{必要条件であるが，十分条件でない} \\
③ \text{十分条件であるが，必要条件でない} & ④ \text{必要条件でも十分条件でもない}
\end{array} \]

次の$[ノ]$から$[リ]$までの$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．

(1)$1$つのさいころを$3$回続けて投げるとき，出た目が$3$回とも同じである確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ][ヒ]}$，$3$回とも異なる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，$3$回のうち$2$回は同じで$1$回だけ他と異なる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ][ミ]}$である．
(2)$a,\ b$を自然数とし，$x$を実数とするとき，以下の$[ム]$から$[リ]$の$[　]$に入る正しい記述を次の$①$～$④$の中から選び，その番号を記述せよ．

\mon[$①$] 必要十分条件である
\mon[$②$] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[$③$] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない

(i) $a$が$2$の倍数であることは，$a^2$が$2$の倍数であるための$[ム]$
(ii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$4$の倍数であるための$[メ]$
(iii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$8$の倍数であるための$[モ]$
\mon[$\tokeishi$] $a$が$2$の倍数または$b$が$2$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ヤ]$
\mon[$\tokeigo$] $a$が$2$の倍数または$b$が$3$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ユ]$
\mon[$\tokeiroku$] $x^2+x-2=0$は，$x=1$であるための$[ヨ]$
\mon[$\tokeishichi$] $x>2$は，$x^2+3x-4>0$であるための$[ラ]$
\mon[$\tokeihachi$] $x^2 \leqq x+6$は，$x<3$であるための$[リ]$