次の問いに答えよ．

(1)$x$についての$2$次式$P(x)$を$x+1$で割ると，商が$x-a$であり，余りが$b$であるとする．ただし，$b$は$0$ではないとする．

(i) $2$次方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件は，
$(a+[ア])^2>[イ]b$である．
(ii) $P(a)=P(-a)$を満たす$a$の値は$2$つあり，小さい順に，$[ウ]$，$[エ]$である．
(iii) $P(a+b)=P(a-b)$を満たすとき，$a=[オカ]$である．

(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個が入っている．この袋から玉を$1$個取り出し，それを戻すと同時に，その玉と同じ色の玉を$1$個加える．このような操作を$3$回繰り返す．操作が終わったときに，袋の中の赤玉と白玉が同数になっている確率は，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$であり，白玉が赤玉より$2$個多くなっている確率は，$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．

$p,\ q$を実数の定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2+px+q$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(a)=a$を満たす実数$a$が存在するための$p,\ q$についての必要十分条件を求めよ．
(2)$f(a)=b,\ f(b)=a$を満たす異なる実数$a,\ b$が存在することと，$p,\ q$が不等式$(p-1)^2-4(q+1)>0$を満たすことは同値であることを証明せよ．

次の問に答えなさい．

(1)$2$つの変数$x,\ y$をもつ関数$f(x,\ y)$を$\displaystyle f(x,\ y)=\frac{x+y}{2}+\frac{|x-y|}{2}$と定める．$x,\ y$が実数の値であるとき，$f(x,\ y)=x$は$x \geqq y$であるための必要十分条件であることを示しなさい．
(2)方程式$x^2+y^2-1+|x^2+y^2-1|=0$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を図示しなさい．

$p,\ q$は実数で，$p \neq 0$を満たすものとする．
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
p & p-1 \\
-p & 1-p
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1-p & 1-p \\
p & p
\end{array} \right),\quad C=\left( \begin{array}{cc}
q & q \\
p & p
\end{array} \right) \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$A^2=A,\ B^2=B$が成り立つことを示せ．
(2)$AC=CA$であるための必要十分条件は，$q=1-p$，すなわち$C=B$であることを示せ．
(3)$x,\ y$を実数，$n$を自然数とするとき，$(xA+yB)^n=x^nA+y^nB$が成り立つことを示せ．

逆行列をもつ行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される$1$次変換を考える．以下の問いに答えよ．

(1)この変換によって$xy$平面上の任意の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$および$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$がそれぞれ$\mathrm{P}^\prime ({x_1}^\prime,\ {y_1}^\prime)$および$\mathrm{Q}^\prime ({x_2}^\prime,\ {y_2}^\prime)$に移されるとき，$2$点間の距離が変換によって変化しない，つまり，$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}|^2$であるための必要十分条件は，
\[ A^\mathrm{T}A=E \qquad \cdots\cdots (*) \]
であることを示せ．ただし，$A^\mathrm{T}$は$A$の行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列，すなわち，
\[ A^\mathrm{T}=\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \]
である．また，$E$は単位行列である．
(2)原点のまわりの回転移動および$x$軸に関する対称移動の$1$次変換を，それぞれ，$f$および$g$とする．これらの$1$次変換を表す行列は，それぞれ，上の条件$(*)$を満たすことを確かめよ．
(3)$(2)$で考えた$1$次変換$f$および$g$を表す行列をそれぞれ$F$および$G$とし，$A=FGF^{-1}$で定義される行列$A$によって表される$1$次変換を考える．この変換によって直線$y=mx$上の任意の点がそれ自身に移されるとき，$A$を実数$m$を用いて表せ．ただし，$F^{-1}$は$F$の逆行列を表す．
(4)$(1)$で考えた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$の座標を用いて，$S=x_1y_2-y_1x_2$および$S^{\prime}={x_1}^\prime {y_2}^\prime-{y_1}^\prime {x_2}^\prime$を定義する．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$への変換を表す行列が$(3)$で求めた$A$で与えられるとき，$S$と$S^\prime$の関係式を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．

(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である．
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である．
(iii) 数学は美しい．

(2)次の$(ⅰ)$～$\tokeigo$の$[　]$の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない，必要十分条件である，必要条件でも十分条件でもない，のいずれが当てはまるか答えよ．

(i) $x$が偶数であることは，$x$が整数であるための$[　]$．
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは，三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[　]$．
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき，$y>2x^2$であることは，$y>x^2-2x-2$であるための$[　]$．
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[　]$．
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[　]$．

(3)次の命題(ア)，(イ)の逆，裏，対偶をそれぞれ書け．また，元の命題，逆，裏，対偶の真偽をそれぞれ答えよ．

\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である．
\mon[(イ)] $n$を整数とする．$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である．

実数$a,\ b$に対して，$f(x)=x^2-2ax+b,\ g(x)=x^2-2bx+a$とおく．

(1)$a \neq b$のとき，$f(c)=g(c)$を満たす実数$c$を求めよ．
(2)(1)で求めた$c$について，$a,\ b$が条件$a<c<b$を満たすとする．このとき，連立不等式
\[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \]
が解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)一般に$a<b$のとき，連立不等式
\[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \]
が解をもつための必要十分条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

すべての項が整数である数列を整数列という．$p,\ q,\ r,\ s$を実数とし，正の整数$n$に対し
\[ a_n=p+qn+rn^2,\quad b_n=p+qn+rn^2+sn^3 \]
とおく．このとき以下の命題を示せ．

(1)数列$\{a_n\}$が整数列ならば，$2r$は整数である．
(2)数列$\{b_n\}$が整数列であるための必要十分条件は，$p$と$q+r+s$と$2r$と$6s$がいずれも整数となることである．

サイコロを$4$回投げて，$1$，$2$，$3$，$4$回目に出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とするとき，行列$A$を$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
-c & -d
\end{array} \biggr)$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$A^2-(a-d)A-(ad-bc)E=O$を示せ．ただし，$E,\ O$はそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$A^2=O$が成り立つための必要十分条件は，$ad=bc$および$a=d$が成り立つことである．これを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とする．$A^n=O$となる確率を求めよ．

$a,\ b$を定数とし，$a \neq 0$とする．連立1次方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2x+(a-1)y=b \\
ax+a^2y=1
\end{array}
\right. \cdots\cdots (*) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$(*)$が2組以上の解をもつような$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$(*)$が$x=1,\ y=2$をただ1組の解としてもつような$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$(*)$が$x=y$となる解をもつための$a$と$b$に関する必要十分条件を求めよ．