「必要十分条件」について
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国立 信州大学 2015年 第2問放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．
(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．
(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
国立 信州大学 2015年 第1問放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．
(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．
(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
国立 滋賀大学 2015年 第4問座標平面において，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円に内接する正六角形のうち，点$\mathrm{A}_1(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え，その頂点を$\mathrm{A}_1$から反時計回りに，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{E}_1$，$\mathrm{F}_1$とする．同様に，$2$以上の自然数$n$に対して，$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円に内接する正六角形のうち，点$\mathrm{A}_n(n,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え，その頂点を$\mathrm{A}_n$から反時計回りに，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$，$\mathrm{D}_n$，$\mathrm{E}_n$，$\mathrm{F}_n$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}_1}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{B}_3 \mathrm{C}_7}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{P}$が，正六角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n \mathrm{F}_n$の辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上にあるための必要十分条件を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数とし，頂点$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{F}_n$は辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点とする．
(3)点$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_7$，$\mathrm{E}_2$と辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点$\mathrm{P}$がある平行四辺形の頂点となるような自然数$n$を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{B}_3 \mathrm{C}_7}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{P}$が，正六角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n \mathrm{F}_n$の辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上にあるための必要十分条件を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数とし，頂点$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{F}_n$は辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点とする．
(3)点$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_7$，$\mathrm{E}_2$と辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点$\mathrm{P}$がある平行四辺形の頂点となるような自然数$n$を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問$a$を実数とする．絶対値を含む式$|x-a|x-a |x-a|$は，以下の$(1)$と$(2)$のように$2$通りの解釈が可能である．それぞれの解釈のもとで，方程式
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える．
(1)$|x-a|x-a |x-a|$を，絶対値$|x-a|$と$x$の積から，$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する．このとき，上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる．
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である．また，この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである．
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで，上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である．$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい．
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える．
(1)$|x-a|x-a |x-a|$を，絶対値$|x-a|$と$x$の積から，$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する．このとき，上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる．
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である．また，この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである．
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで，上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である．$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
$p,\ q$を正の実数として，曲線$C$を$\displaystyle x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}}=1 (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$により定義する．
(1)曲線$C$の方程式を$y$について解いて得られる関数を$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 1)$とおく．$y=f(x)$のグラフが$0<x<1$において変曲点をもつためには$p,\ q$が条件$[あ]$を満たすことが必要十分である．
(2)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(p,\ q)$とすると，$S(1,\ q)=[い]$であり，$p>1$ならば$S(p,\ q)$と$S(p-1,\ q+1)$の間には$S(p,\ q)=[う]S(p-1,\ q+1)$の関係がある．$p,\ q$がともに自然数であるときに$S(p,\ q)$を$p,\ q$の式で表すと$S(p,\ q)=[え]$である．
(3)$p=q=3$のとき，直線$\ell:x+y=\alpha$が曲線$C$と$2$点を共有するための必要十分条件は$[お]<\alpha \leqq 1$である．この条件が成り立つとき，直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_1,\ x_2$とすると$\displaystyle x_1^{\frac{1}{3}}x_2^{\frac{1}{3}}=[か]$かつ$\displaystyle \left( x_1^{\frac{1}{3}}-x_2^{\frac{1}{3}} \right)^2=[き]$である．さらに$\alpha_0=[お]$とおくとき$\displaystyle \lim_{\alpha \to \alpha_0+0} \frac{\mathrm{PQ}^2}{\alpha-\alpha_0}=[く]$が成り立つ．
$p,\ q$を正の実数として，曲線$C$を$\displaystyle x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}}=1 (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$により定義する．
(1)曲線$C$の方程式を$y$について解いて得られる関数を$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 1)$とおく．$y=f(x)$のグラフが$0<x<1$において変曲点をもつためには$p,\ q$が条件$[あ]$を満たすことが必要十分である．
(2)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(p,\ q)$とすると，$S(1,\ q)=[い]$であり，$p>1$ならば$S(p,\ q)$と$S(p-1,\ q+1)$の間には$S(p,\ q)=[う]S(p-1,\ q+1)$の関係がある．$p,\ q$がともに自然数であるときに$S(p,\ q)$を$p,\ q$の式で表すと$S(p,\ q)=[え]$である．
(3)$p=q=3$のとき，直線$\ell:x+y=\alpha$が曲線$C$と$2$点を共有するための必要十分条件は$[お]<\alpha \leqq 1$である．この条件が成り立つとき，直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_1,\ x_2$とすると$\displaystyle x_1^{\frac{1}{3}}x_2^{\frac{1}{3}}=[か]$かつ$\displaystyle \left( x_1^{\frac{1}{3}}-x_2^{\frac{1}{3}} \right)^2=[き]$である．さらに$\alpha_0=[お]$とおくとき$\displaystyle \lim_{\alpha \to \alpha_0+0} \frac{\mathrm{PQ}^2}{\alpha-\alpha_0}=[く]$が成り立つ．
私立 中央大学 2015年 第2問実数$a,\ b$に対し
\[ f(a,\ b)=a^2-ab+b+1 \]
とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)「すべての$a$に対し$f(a,\ b) \geqq 0$」となるための$b$の必要十分条件を求めよ．
(2)「$b \geqq 0$であるすべての$b$に対し$f(a,\ b) \geqq 0$」となるための$a$の必要十分条件を求めよ．
(3)「すべての$b$に対し$f(a,\ b) \geqq 0$」となるための$a$の必要十分条件を求めよ．
\[ f(a,\ b)=a^2-ab+b+1 \]
とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)「すべての$a$に対し$f(a,\ b) \geqq 0$」となるための$b$の必要十分条件を求めよ．
(2)「$b \geqq 0$であるすべての$b$に対し$f(a,\ b) \geqq 0$」となるための$a$の必要十分条件を求めよ．
(3)「すべての$b$に対し$f(a,\ b) \geqq 0$」となるための$a$の必要十分条件を求めよ．
私立 中央大学 2015年 第3問曲線$C_1:y=x^3$を考える．点$\mathrm{A}(-1,\ -1)$における$C_1$の接線$\ell$は，$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$で$C_1$と交わっている．このとき，以下の設問に答えよ．ただし
\[ \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+L \quad (L \text{は積分定数}) \]
である．
(1)点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)実数の定数$a,\ b,\ c$に対し，曲線$C_2:y=ax^2+bx+c$を考える．$C_2$が点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通り，さらに$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$との間の点$\mathrm{E}$（$\mathrm{E} \neq \mathrm{A},\ \mathrm{E} \neq \mathrm{B}$）で$C_1$と交わるとき，$c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(3)$C_2$および$\mathrm{E}$は前問と同様とし，$c$は前問の必要十分条件を満たしている．「$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_1$，「$\mathrm{E}$，$\mathrm{B}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$c$の値を求めよ．
\[ \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+L \quad (L \text{は積分定数}) \]
である．
(1)点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)実数の定数$a,\ b,\ c$に対し，曲線$C_2:y=ax^2+bx+c$を考える．$C_2$が点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通り，さらに$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$との間の点$\mathrm{E}$（$\mathrm{E} \neq \mathrm{A},\ \mathrm{E} \neq \mathrm{B}$）で$C_1$と交わるとき，$c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(3)$C_2$および$\mathrm{E}$は前問と同様とし，$c$は前問の必要十分条件を満たしている．「$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_1$，「$\mathrm{E}$，$\mathrm{B}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$c$の値を求めよ．
私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次関数$y=4x^3-12x+1 (-1 \leqq x \leqq \sqrt{3})$のグラフを$G$とする．$k$を実数とし，直線$\ell:y=-3x+k$を考える．$\ell$と$G$が異なる$2$つの共有点をもつための必要十分条件は，
\[ k=[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]} \]
または
\[ [エ]+[オ] \sqrt{[カ]}<k<[キ] \]
である．
(2)不等式$9^{\log_3 x}-3 \cdot 2^{(\log_2 x+2)}+3^3>0$の解は，$[ク]<x<[ケ]$または$[コ]<x$である．
(3)下図のような道がある．
(i) $\mathrm{C}$を経由して，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[サ]$通りである．
(ii) $\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[シ]$通りである．
（図は省略）
(1)$3$次関数$y=4x^3-12x+1 (-1 \leqq x \leqq \sqrt{3})$のグラフを$G$とする．$k$を実数とし，直線$\ell:y=-3x+k$を考える．$\ell$と$G$が異なる$2$つの共有点をもつための必要十分条件は，
\[ k=[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]} \]
または
\[ [エ]+[オ] \sqrt{[カ]}<k<[キ] \]
である．
(2)不等式$9^{\log_3 x}-3 \cdot 2^{(\log_2 x+2)}+3^3>0$の解は，$[ク]<x<[ケ]$または$[コ]<x$である．
(3)下図のような道がある．
(i) $\mathrm{C}$を経由して，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[サ]$通りである．
(ii) $\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[シ]$通りである．
（図は省略）