$i$を虚数単位，$k$を実数とするとき，$3$次方程式$\displaystyle 2x^3-(6k+3i)x^2-\frac{4}{3}x-9+2i=0$が$2$つの異なる実数解をもつための必要十分条件は$\displaystyle k=-\frac{[$24$]}{[$25$]}$であり，その$2$つの実数解は$\displaystyle x=\pm \frac{\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$である．

座標平面上で，曲線$y=ax^2+bx+2$を$C$とおく．また，直線$y=ax+b+2$を$\ell$とおく．ただし，$a,\ b$は定数とし，$a>0$とする．以下の問に答えなさい．

(1)曲線$C$と直線$\ell$がただ$1$つの共有点を持つための必要十分条件となる$a,\ b$の式を求めなさい．また，その共有点の座標を求めなさい．
(2)いま，曲線$C$と直線$\ell$が$2$つの交点を持ち，$2$交点の$x$座標の差の絶対値は$4$であるとする．また，曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる部分の面積は$64$であるとする．このとき，これを満たす$a,\ b$の値を求めなさい．

$a$を正の実数，$b,\ c$を実数とする．$f(x)=ax^2+bx+c$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．

次の各問に答えよ．

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．

$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．

$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．

$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．

$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．

放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．

(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．