タグ「必要十分条件」の検索結果

11ページ目:全130問中101問~110問を表示)
岩手大学 国立 岩手大学 2011年 第2問
以下の問いに答えよ.

(1)自然数$n$に関する次の命題を証明せよ.

(i) $n$を$3$で割った余りが1ならば,$n^2$を$3$で割った余りは$1$である.
(ii) $n$が$3$の倍数であることは,$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である.

(2)$100$から$999$までの$3$桁の自然数について,次の問いに答えよ.

(i) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか.
\mon[$(ⅱ)$)] $0$が現れないものは何個あるか.
(iii) $0$または$1$が現れるものは何個あるか.

(3)$1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする.$U$の要素のうち,$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$,また,$U$の要素のうち,偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする.いま$A$と$B$は$U$の部分集合で,次の$2$つの条件を満たすものとする.

\mon[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$
\mon[(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$

このとき,集合$A$の要素をすべて求めよ.ただし,$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする.
三重大学 国立 三重大学 2011年 第2問
座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える.

(1)2点$(0,\ 0)$,$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ.
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ.ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする.
三重大学 国立 三重大学 2011年 第2問
座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える.

(1)2点$(0,\ 0)$,$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ.
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ.ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする.
山口大学 国立 山口大学 2011年 第4問
2つの関数$y=ax^2+b,\ y=|(x-1)(x+1)|$のグラフが共有点をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し,点$(a,\ b)$の存在する領域を座標平面上に図示しなさい.
山形大学 国立 山形大学 2011年 第3問
座標平面上で原点を中心とする角$\theta \ $(ラジアン)の回転移動を表す行列を$R(\theta)$とする.また,$\displaystyle 0<\theta<\pi \ \left( \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$となる$\theta$に対し,直線$y=(\tan \theta)x$に関する対称移動を表す行列を$A(\theta)$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)行列$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta)$を求めよ.また,$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ.ただし,$R(\theta)^{-1}$は$R(\theta)$の逆行列である.
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi \ \left( \alpha,\ \beta \neq \frac{\pi}{2} \right)$のとき,$A(\alpha) A(\beta)$を求めよ.
(3)$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$のとき,$A(\alpha)A(\beta)=A(\beta)A(\alpha)$となるための必要十分条件を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(4)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}$で,点$(\tan \alpha,\ \tan \beta)$が曲線$\displaystyle y=\frac{3x-1}{x+3}$上にあるとき,次の\maru{1},\maru{2}に答えよ.

\mon[\maru{1}] $\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ.
\mon[\maru{2}] $A(\alpha)A(\beta)$を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2011年 第5問
$a,\ b,\ c,\ d$を実数の定数とする.座標平面上の点$(2,\ 1)$を点$(5,\ 2)$に移す1次変換を表す行列を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とする.以下の問に答えよ.

(1)$A$が逆行列をもつための必要十分条件を$a$と$c$を用いて表せ.
(2)次の式を満たす$A$を求めよ.
\[ A^2=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{25}{4} & 0 \\
\displaystyle\frac{5}{2} & 0
\end{array} \right) \]
(3)$n$を自然数とする.(2)で求めた$A$について
\[ -\frac{2}{5}A+\left( -\frac{2}{5} \right)^2A^2+\left( -\frac{2}{5}\right)^3A^3+\cdots +\left( -\frac{2}{5} \right)^n A^n \]
を求めよ.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2011年 第4問
次の問いに答えよ.

(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として,全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める.
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき,部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は,全部で何個あるか.
以下,数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える.
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ.
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは,$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である.
(3)命題$\mathrm{P}$において,十分条件を必要十分条件に書きかえて,命題$\mathrm{Q}$をつくる.命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ.
(4)$9$と$11$のうち,どちらか一方の数で割り切れるけれども,他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し,残りはすべて取り去る.こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると,$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという.番号$k$を求めよ.
鳴門教育大学 国立 鳴門教育大学 2011年 第2問
三角形$\mathrm{ABC}$において,$3$辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$の長さが,それぞれ$n-1$,$n$,$n+1$であるとする.ただし,$n$は$4$以上の整数である.頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の長さを$d$とする.

(1)$d$を$n$を用いて表せ.
(2)$n$が偶数であることは,$d$の$2$乗が整数であるための必要十分条件であることを証明せよ.
鳴門教育大学 国立 鳴門教育大学 2011年 第4問
$a,\ b$を実数とするとき,次のことを示せ.

(1)$a,\ b$の少なくとも$1$つが無理数であるための必要十分条件は,$a+b$,$a-b$の少なくとも$1$つが無理数となることである.
(2)$a+b,\ ab$がともに有理数であることは,$a,\ b$がともに有理数であるための必要条件であるが,十分条件ではない.
(3)$a+b,\ ab,\ a^3-b^3$がすべて有理数であれば,$a,\ b$はともに有理数である.
東京海洋大学 国立 東京海洋大学 2011年 第3問
三角形$\mathrm{OAB}$において,次を証明せよ.

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の長さが等しくなるような$\pm 1$以外の実数$t$が存在することは$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$であるための必要十分条件である.
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が垂直になるような$t<-1$である実数$t$が存在することは$\angle \mathrm{AOB}<90^\circ$であるための必要十分条件である.
スポンサーリンク

「必要十分条件」とは・・・

 まだこのタグの説明は執筆されていません。