$f(x)=x^2-4x+7$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，$\mathrm{B}(t+a,\ f(t+a)) (a>0)$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$，$\ell_\mathrm{B}$とする．また$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．

$f(x)=x^2-4x+7$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，$\mathrm{B}(t+a,\ f(t+a)) (a>0)$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$，$\ell_\mathrm{B}$とする．また$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．

$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
b & 2
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$と$\mathrm{P}(1,\ 0)$を考える．$1$次変換$f$と$f^2=f \circ f$による$\mathrm{P}$の像をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ ab+[ア]b^2+[イ]=0 \]
である．この条件のもとで$a$のとる正の値の最小値は$[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角二等辺三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ (a,\ b)=\left( [オカ],\ -\frac{[キ]}{[ク]} \right) \quad \text{または} \quad (a,\ b)=\left( -[ケコ],\ \frac{[サ]}{[シ]} \right) \]
である．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．
(2)$a,\ b$は実数とする．
$a=[　]$は，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要条件である．
$a=[　]$かつ$b=[　]$であることは，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要十分条件である．
$a=[　]$または$b=[　]$であることは，
\[ (a-1)^2(a-2)^2(b-3)^2(b-5)^2+(a-2)^2(a-4)^2(b-3)^2(b-7)^2=0 \]
であるための十分条件である．
(3)$a=[　]$かつ$b=[　]$であることは，
\[ (a-4)^2(b-5)^2(b-8)^2+(a-4)^2(a-6)^2+(a-5)^2(a-7)^2(b-7)^2=0 \]
であるための必要十分条件である．

$m$を自然数とする．$m^2-1$が$8$で割り切れるための必要十分条件は，$m$が奇数であることを示せ．

$t$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)正の実数$x$に対して定義された関数$g(x) = e^x x^{-t}$について，$g(x)$の最小値を$t$を用いて表せ．
(2)すべての正の実数$x$に対して$e^x > x^t$が成り立つための必要十分条件は，$t<e$であることを示せ．

図のような縦横同数の格子の全ての格子点上に，白または黒の石を置く．縦または横に隣り合う石の色が同じならその間に実線を，異なっていれば点線を引き，実線の数を数える操作を行う．図$1$の実線の数は$2$本，図$2$では$5$本である．
（図は省略）

(1)$2 \times 2$の格子点に$4$つの石を置くとき，石の置き方にかかわらず，実線の数は偶数になることを示せ．
(2)$3 \times 3$の格子点に$9$つの石を置くとき，実線の数が奇数になるための必要十分条件を示せ．ただし，(1)の結果を使ってもよい．

整数$m$が与えられたとき，$x$に関する整数係数の$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$が関係式
\[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \]
を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．

(1)$f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$，かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$，かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ．
(2)正整数$p (>1)$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ．
(3)正整数$p (>1)$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式
\[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \]
が満たされることを証明せよ．
(4)正整数$p (>1)$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．

$a$を正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$の極大値および極小値を求めよ．
(2)$x \geqq 3$のとき，不等式$x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3}$が成り立つことを示せ．さらに，極限値
\[ \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} \]
を求めよ．
(3)$k$を定数とする．$y=x^2+2x+2$のグラフと$y=ke^x+a^2$のグラフが異なる$3$点で交わるための必要十分条件を，$a$と$k$を用いて表せ．

2つの関数$y=ax^2+b,\ y=|(x-1)(x+1)|$のグラフが共有点をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，点$(a,\ b)$の存在する領域を座標平面上に図示しなさい．