「必要十分条件」について
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国立 静岡大学 2016年 第2問$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$について次の各問に答えよ．
(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
国立 東京海洋大学 2016年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$に対し$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$として
\[ \overrightarrow{p}=|\overrightarrow{a|} \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b|} \overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c|} \overrightarrow{a} \]
によってベクトル$\overrightarrow{p}$を定めるとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$は$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるための必要十分条件であることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}$かつ$|\overrightarrow{p|}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{p}=|\overrightarrow{a|} \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b|} \overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c|} \overrightarrow{a} \]
によってベクトル$\overrightarrow{p}$を定めるとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$は$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるための必要十分条件であることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}$かつ$|\overrightarrow{p|}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
国立 広島大学 2016年 第5問$n$を$2$以上の自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，
\[ f(a)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k-a)^2 \]
とする．$f(a)$を最小にする$a$は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の平均値で，そのときの最小値は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の分散であることを示せ．
(2)$c$を定数として，変量$y,\ z$の$k$番目のデータの値が
$y_k=k\phantom{c} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
$z_k=ck \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
であるとする．このとき$y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n$の分散が$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ．
(3)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，その平均値を$\overline{x}$とする．新たにデータを得たとし，その値を$x_{n+1}$とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$の平均値を$x_{n+1},\ \overline{x}$および$n$を用いて表せ．
(4)次の$40$個のデータの平均値，分散，中央値を計算すると，それぞれ，ちょうど$40,\ 670,\ 35$であった．
\begin{tabular}{|rrrrrrrrrr|}
\hline
$120$ & $10$ & $60$ & $70$ & $30$ & $20$ & $20$ & $30$ & $20$ & $60$ \\
$40$ & $50$ & $40$ & $10$ & $30$ & $40$ & $40$ & $30$ & $20$ & $70$ \\
$100$ & $20$ & $20$ & $40$ & $40$ & $60$ & $70$ & $20$ & $50$ & $10$ \\
$30$ & $10$ & $50$ & $80$ & $10$ & $30$ & $70$ & $10$ & $60$ & $10$ \\ \hline
\end{tabular}
新たにデータを得たとし，その値が$40$であった．このとき，$41$個のすべてのデータの平均値，分散，中央値を求めよ．ただし，得られた値が整数でない場合は，小数第$1$位を四捨五入せよ．
(1)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，
\[ f(a)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k-a)^2 \]
とする．$f(a)$を最小にする$a$は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の平均値で，そのときの最小値は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の分散であることを示せ．
(2)$c$を定数として，変量$y,\ z$の$k$番目のデータの値が
$y_k=k\phantom{c} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
$z_k=ck \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
であるとする．このとき$y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n$の分散が$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ．
(3)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，その平均値を$\overline{x}$とする．新たにデータを得たとし，その値を$x_{n+1}$とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$の平均値を$x_{n+1},\ \overline{x}$および$n$を用いて表せ．
(4)次の$40$個のデータの平均値，分散，中央値を計算すると，それぞれ，ちょうど$40,\ 670,\ 35$であった．
\begin{tabular}{|rrrrrrrrrr|}
\hline
$120$ & $10$ & $60$ & $70$ & $30$ & $20$ & $20$ & $30$ & $20$ & $60$ \\
$40$ & $50$ & $40$ & $10$ & $30$ & $40$ & $40$ & $30$ & $20$ & $70$ \\
$100$ & $20$ & $20$ & $40$ & $40$ & $60$ & $70$ & $20$ & $50$ & $10$ \\
$30$ & $10$ & $50$ & $80$ & $10$ & $30$ & $70$ & $10$ & $60$ & $10$ \\ \hline
\end{tabular}
新たにデータを得たとし，その値が$40$であった．このとき，$41$個のすべてのデータの平均値，分散，中央値を求めよ．ただし，得られた値が整数でない場合は，小数第$1$位を四捨五入せよ．
国立 千葉大学 2016年 第3問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第1問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第1問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第1問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 徳島大学 2016年 第3問整式$P(x)$が条件「$x$が整数ならば，$P(x)$の値は整数となる」を満たすとき，$P(x)$を整数値整式という．また，$a,\ b,\ c,\ d$を定数とし，$f_1(x)=x$，$\displaystyle f_2(x)=\frac{1}{2}x(x-1)$，$\displaystyle f_3(x)=\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)$とする．
(1)$P(x)=ax^2+bx+c$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{A})$であることを示せ．
\mon[$(\mathrm{A})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$という形に表せる．
(2)$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{B})$であることを示せ．
\mon[$(\mathrm{B})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2,\ m_3$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$という形に表せる．
(1)$P(x)=ax^2+bx+c$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{A})$であることを示せ．
\mon[$(\mathrm{A})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$という形に表せる．
(2)$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{B})$であることを示せ．
\mon[$(\mathrm{B})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2,\ m_3$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$という形に表せる．
国立 九州工業大学 2016年 第2問$s>0$，$t>0$とする．正の数からなる$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は初項と第$2$項が$a_1=b_1=s$，$a_2=b_2=t$であり，すべての自然数$n$に対して
\[ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},\quad b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n} \]
をみたすとする．次に答えよ．
(1)$a_3,\ b_3,\ a_4,\ b_4$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$d_n=\log b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(5)$t=s$は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$であるための必要十分条件であることを示せ．
\[ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},\quad b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n} \]
をみたすとする．次に答えよ．
(1)$a_3,\ b_3,\ a_4,\ b_4$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$d_n=\log b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(5)$t=s$は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$であるための必要十分条件であることを示せ．