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愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2015年 第3問
$xy$平面上の曲線$C_1:y=x^2$を考える.$C_1$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$,$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとり,点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{B}$における$C_1$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする.ただし,$a<b$とする.以下の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a,\ b$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$が,$xy$平面上の曲線$C_2:y=x^2-x (0<x<1)$上にあるとする.このとき,$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき,$(2)$で求めた内積を$s$で表せ.
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
$*$ \ $(2)$~$(4)$については,必答範囲外からの出題のため,技術・情報科学の受験者全員に対し,正解とする.
岩手大学 国立 岩手大学 2015年 第1問
必答問題$(1)$,$(2)$の$2$問と,選択問題$(3)$,$(4)$のいずれか$1$問を選択し,計$3$問を解答せよ.

(1)(必答)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,\ 1,\ 2)$,$\overrightarrow{b}=(-1,\ 1,\ 0)$について,$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする.$t$がすべての実数値をとって変化するとき,$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ.
(2)(必答)$3$直線$4x-3y+3=0$,$x-4y+4=0$,$3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ.
(3)(選択)複素数$\displaystyle z=2 \left( \cos \frac{11}{12} \pi+i \sin \frac{11}{12} \pi \right)$のとき,$z^2$,$z^{-3}$および${|z-\displaystyle\frac{1|{z}}}^2$を求めよ.ただし,$i$は虚数単位とする.
(4)(選択)$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について,$B^{-1}AB$,$(B^{-1}AB)^n$および$A^n$を求めよ.ただし,$n$は正の整数とする.
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