次の問いに答えよ．

(1)関数$f(t)=2t^3-3t^2+1 (0 \leqq t \leqq 1)$の最小値を求めよ．
(2)$(1)$を利用して，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$2 \cos^3 x-3 \cos^2 x+1>0$となることを示せ．
(3)関数$g(x)=\tan x+2 \sin x-3x$を微分せよ．
(4)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan x+2 \sin x>3x$となることを示せ．

関数$f(x)=x \sqrt{1-x} (0 \leqq x \leqq 1)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a$を正の定数として，関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく．$f(x)$を微分して，多項式
\[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \]
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\sin x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が，$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ．次に，$a$が動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(3)数列$\{a_n\}$
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \]
を次のような群に分け，第$m$群には$m$個の数が入るようにする．
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $

$\displaystyle \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき，数列$\{a_n\}$において，$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か．ただし，$\displaystyle \frac{q}{p}$は，例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように，約分しないものとする．次に，第$100$項$a_{100}$を求めよ．
(4)$2$次の正方行列$A$が
\[ A \left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \]
をみたすとする．このとき，自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
5 \\
3
\end{array} \right)$を求めよ．
(5)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の長さが$1$，$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き，対応する辺との交点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，三角関数の値
\[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \]
を求めよ．
（図は省略）

$n$を自然数とし，
\[ S_n = \int_{(n-1)\pi}^{n \pi} e^{-x} (| \sin x |+1) \; dx \]
とする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$e^{-x}(\sin x+ \cos x)$を微分せよ．
(2)$S_n$および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)次の関数を微分せよ．

\mon[(i)] $y=\sin^3 2x$
\mon[(ii)] $\displaystyle y=\log \frac{e^x}{e^x+1}$

(2)次の不定積分を求めよ．

(3)$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \left( 1+\frac{2}{x} \right)^2 \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int \frac{x^2}{x^2-1} \, dx$

(4)定積分$\displaystyle \int_{-1}^{\log 2} e^{|x|}e^{x} \, dx$を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sqrt{x}}$
(3)$\displaystyle y=\frac{\log |\cos x|}{x}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} x \tan (x^2) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}} xe^{3x} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_e^{e^e} \frac{1}{x \log x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^2+1}{x(x+1)} \, dx$

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sqrt{x}}$
(3)$\displaystyle y=\frac{\log |\cos x|}{x}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} x \tan (x^2) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}} xe^{3x} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_e^{e^e} \frac{1}{x \log x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^2+1}{x(x+1)} \, dx$

次の問いに答えよ．

(1)関係式
\[ a_1=1,\quad na_{n+1}-(n+1)a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めたい．$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおいて数列$\{b_n\}$の一般項を求めることにより，$a_n$を求めよ．
(2)$x \neq 1$のとき，等比数列の和の公式
\[ \sum_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{x^n-1}{x-1} \]
の両辺を$x$で微分せよ．その結果を利用して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}kx^k$を求めよ．
(3)$p \neq 1$のとき，関係式
\[ c_1=0,\quad \frac{pc_{n+1}}{n}-\frac{c_n}{n+1}=\frac{1}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．