「微分」について
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私立 大同大学 2013年 第5問$\displaystyle f(x)=\frac{x \log \left( x^2+\displaystyle\frac{3}{4} \right)}{x^2+\displaystyle\frac{3}{4}}$とする．
(1)$f(x)=0$をみたす$x$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\log \left( x^2+\displaystyle\frac{3}{4} \right)$を微分せよ．
(3)$(2)$を用いて置換積分することにより，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(1)$f(x)=0$をみたす$x$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\log \left( x^2+\displaystyle\frac{3}{4} \right)$を微分せよ．
(3)$(2)$を用いて置換積分することにより，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる$2$つの部分の面積の和を求めよ．
私立 大阪工業大学 2013年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{3x+a}{x^2+1}$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．
(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$が$x=3$で極値をとるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$を$(2)$で求めた値とするとき，$f(x)$の増減を調べて，極値をすべて求めよ．
(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$が$x=3$で極値をとるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$を$(2)$で求めた値とするとき，$f(x)$の増減を調べて，極値をすべて求めよ．
公立 横浜市立大学 2013年 第2問$a$を正の定数とする．$n$を$0$以上の整数とし，多項式$P_n(x)$を$n$階微分を用いて
\[ P_n(x)=\frac{d^n}{dx^n}(x^2-a^2)^n \quad (n \geqq 1),\quad P_0(x)=1 \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$n=2$および$n=3$に対して
\[ P_2(-a),\quad P_3(-a) \]
を求めよ．
(2)$u=u(x)$，$v=v(x)$を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bf ライプニッツの公式}
\[ (uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v^\prime+\cdots +\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots +\comb{n}{n-1}u^\prime v^{(n-1)}+\comb{n}{n}uv^{(n)} \]
を数学的帰納法を用いて証明せよ（ただし，$n \geqq 1$）．ここで，$w^{(k)}$は$w=w(x)$の第$k$次導関数を表し，また$w^{(0)}=w$とする．
(3)一般の$n$に対して
\[ P_n(-a),\quad P_n(a) \]
を求めよ．
\[ P_n(x)=\frac{d^n}{dx^n}(x^2-a^2)^n \quad (n \geqq 1),\quad P_0(x)=1 \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$n=2$および$n=3$に対して
\[ P_2(-a),\quad P_3(-a) \]
を求めよ．
(2)$u=u(x)$，$v=v(x)$を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bf ライプニッツの公式}
\[ (uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v^\prime+\cdots +\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots +\comb{n}{n-1}u^\prime v^{(n-1)}+\comb{n}{n}uv^{(n)} \]
を数学的帰納法を用いて証明せよ（ただし，$n \geqq 1$）．ここで，$w^{(k)}$は$w=w(x)$の第$k$次導関数を表し，また$w^{(0)}=w$とする．
(3)一般の$n$に対して
\[ P_n(-a),\quad P_n(a) \]
を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
国立 宮崎大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
国立 福島大学 2012年 第1問以下の問いに答えなさい．
(1)次の方程式を満たす$x$と$y$を求めなさい．
\[ |xy-2x-y+2|+|1-e^{x+y|}=0 \]
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ 3 \log_{0.5}(x-1)>\log_{0.5}(-x^2+6x-7) \]
(3)次の定積分を求めなさい．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 2x \, dx \]
(4)関数$f(x)=e^{\sin x}$を微分しなさい．
(1)次の方程式を満たす$x$と$y$を求めなさい．
\[ |xy-2x-y+2|+|1-e^{x+y|}=0 \]
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ 3 \log_{0.5}(x-1)>\log_{0.5}(-x^2+6x-7) \]
(3)次の定積分を求めなさい．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 2x \, dx \]
(4)関数$f(x)=e^{\sin x}$を微分しなさい．
国立 茨城大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x+3}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$y=(x-2)^8(2x+3)^6$を微分せよ．
(3)次の定積分を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．
\[ (ⅰ) \quad \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{3x+1}} \, dx \qquad (ⅱ) \quad \int_{2}^{2e} \frac{1}{2} \log \frac{x}{2} \, dx \]
(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x+3}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$y=(x-2)^8(2x+3)^6$を微分せよ．
(3)次の定積分を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．
\[ (ⅰ) \quad \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{3x+1}} \, dx \qquad (ⅱ) \quad \int_{2}^{2e} \frac{1}{2} \log \frac{x}{2} \, dx \]
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$1$から$9$までの番号が書かれた$9$個のポールが袋に入っている．この袋の中から$1$個のボールを取り出し，その番号を確認してからもとに戻す試行を考える．
(i) この試行を$3$回行ったとき，同じ番号のボールを少なくとも$2$回取り出す確率は$\displaystyle\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．
(ii) この試行を$2$回行ったとき，取り出したボールの番号の差が$1$以下となる確率は$\displaystyle\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．
(2)$t$を$t>1$をみたす実数とし，$xy$平面上で次の方程式で表される$3$直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を考える．
\[ \begin{array}{l}
\ell_1:tx-y=0 \\
\ell_2:x-ty-t^2=0 \\
\ell_3:x+ty-t^2=0
\end{array} \]
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$で囲まれる三角形の面積を$S(t)$とし，この三角形の$x$軸の上側の部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸の下側の部分の面積を$S_2(t)$とする．
(i) $S_2(t)=2S_1(t)$となる$t$の値は$t=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle S(t)=\frac{t^{[コ]}}{t^{[サ]}-[シ]}$であり，$S(t)$を$t$で微分して符号を調べることにより，$S(t)$は$\displaystyle t=\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\frac{[ソ]}{[タ]}}$で最小値をとることがわかり，最小値は
\[ \frac{7}{[チ]} \left( \frac{[ツ]}{[テ]} \right)^{\frac{[ト]}{[ナ]}} \]
となる．
(3)$p$を実数とし，方程式$\displaystyle x^3-px^2-\frac{13}{4}x+\frac{15}{8}=0$は$3$つの実数解$a,\ b,\ c (a>b>c)$をもつとする．$a+c=2b$をみたすとき，
\[ a=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad b=\frac{[ネ]}{[ノ]},\quad c=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad p=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3 \]
であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のどの$2$つのなす角も$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとする．$\mathrm{G}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点，$\mathrm{N}$を$\mathrm{BC}$の中点，$\mathrm{L}$を$\mathrm{MN}$の中点とする．このとき，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OG}}|=\frac{[ホ]}{[マ]},\quad |\overrightarrow{\mathrm{GL}}|=\frac{\sqrt{[ミ][ム]}}{[メ][モ]} \]
である．
(1)$1$から$9$までの番号が書かれた$9$個のポールが袋に入っている．この袋の中から$1$個のボールを取り出し，その番号を確認してからもとに戻す試行を考える．
(i) この試行を$3$回行ったとき，同じ番号のボールを少なくとも$2$回取り出す確率は$\displaystyle\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．
(ii) この試行を$2$回行ったとき，取り出したボールの番号の差が$1$以下となる確率は$\displaystyle\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．
(2)$t$を$t>1$をみたす実数とし，$xy$平面上で次の方程式で表される$3$直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を考える．
\[ \begin{array}{l}
\ell_1:tx-y=0 \\
\ell_2:x-ty-t^2=0 \\
\ell_3:x+ty-t^2=0
\end{array} \]
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$で囲まれる三角形の面積を$S(t)$とし，この三角形の$x$軸の上側の部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸の下側の部分の面積を$S_2(t)$とする．
(i) $S_2(t)=2S_1(t)$となる$t$の値は$t=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle S(t)=\frac{t^{[コ]}}{t^{[サ]}-[シ]}$であり，$S(t)$を$t$で微分して符号を調べることにより，$S(t)$は$\displaystyle t=\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\frac{[ソ]}{[タ]}}$で最小値をとることがわかり，最小値は
\[ \frac{7}{[チ]} \left( \frac{[ツ]}{[テ]} \right)^{\frac{[ト]}{[ナ]}} \]
となる．
(3)$p$を実数とし，方程式$\displaystyle x^3-px^2-\frac{13}{4}x+\frac{15}{8}=0$は$3$つの実数解$a,\ b,\ c (a>b>c)$をもつとする．$a+c=2b$をみたすとき，
\[ a=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad b=\frac{[ネ]}{[ノ]},\quad c=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad p=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3 \]
であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のどの$2$つのなす角も$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとする．$\mathrm{G}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点，$\mathrm{N}$を$\mathrm{BC}$の中点，$\mathrm{L}$を$\mathrm{MN}$の中点とする．このとき，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OG}}|=\frac{[ホ]}{[マ]},\quad |\overrightarrow{\mathrm{GL}}|=\frac{\sqrt{[ミ][ム]}}{[メ][モ]} \]
である．
私立 中央大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)次の式を展開せよ．
\[ (x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1) \]
(2)$m$は自然数である．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2mx+6m-8=0 \]
が，実数解を持たないとき，$m$の値を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq 360^\circ$において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
\[ y=2 \sin^2 \theta+\cos \theta-2 \]
(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_1^2 (3x^2+4x+2) \, dx \]
(5)大小$2$つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$|a-b| \geqq 3$となる確率を求めよ．
(6)半径$r$の球の体積$\displaystyle V=\frac{4 \pi r^3}{3}$を，$r$で微分して，導関数$V^\prime$を求めよ．これは，半径$r$の球の何を表しているか．
(1)次の式を展開せよ．
\[ (x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1) \]
(2)$m$は自然数である．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2mx+6m-8=0 \]
が，実数解を持たないとき，$m$の値を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq 360^\circ$において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
\[ y=2 \sin^2 \theta+\cos \theta-2 \]
(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_1^2 (3x^2+4x+2) \, dx \]
(5)大小$2$つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$|a-b| \geqq 3$となる確率を求めよ．
(6)半径$r$の球の体積$\displaystyle V=\frac{4 \pi r^3}{3}$を，$r$で微分して，導関数$V^\prime$を求めよ．これは，半径$r$の球の何を表しているか．
私立 津田塾大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)多項式$f(x)$と$g(x)$の間に
$\displaystyle f(x)=2x+\int_0^1 g(t) \, dt$
$\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 f(t) \, dt$
という関係が成り立つとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$を微分せよ．
(3)$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードを横一列に並べる．$1$が書かれたカードと$2$が書かれたカードの間に他のカードが$1$枚ある並べ方は何通りあるか．
(1)多項式$f(x)$と$g(x)$の間に
$\displaystyle f(x)=2x+\int_0^1 g(t) \, dt$
$\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 f(t) \, dt$
という関係が成り立つとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$を微分せよ．
(3)$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードを横一列に並べる．$1$が書かれたカードと$2$が書かれたカードの間に他のカードが$1$枚ある並べ方は何通りあるか．