「微分」について
タグ「微分」の検索結果
（3ページ目：全64問中21問～30問を表示）
私立 千歳科学技術大学 2014年 第1問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(5)$y=xe^{-x}$を微分しなさい．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を求めなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(5)$y=xe^{-x}$を微分しなさい．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を求めなさい．
公立 大阪府立大学 2014年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=|x|$が$x=0$において微分可能でないことを微分の定義に基づいて示せ．
(2)$y=x |x|$のグラフの概形を描け．
(3)$m$は自然数とする．関数$g(x)=x^m |x|$が$x=0$において微分可能であるか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．
(1)関数$f(x)=|x|$が$x=0$において微分可能でないことを微分の定義に基づいて示せ．
(2)$y=x |x|$のグラフの概形を描け．
(3)$m$は自然数とする．関数$g(x)=x^m |x|$が$x=0$において微分可能であるか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．
国立 茨城大学 2013年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)関数$f(x)=\log_a (ax)$を微分せよ．ただし，$a>0$かつ$a \neq 1$とする．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\int_1^{x^2+1}t^2(t-1)^5 \, dt$を微分せよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1-x}{1+x} \, dx$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)=\log_a (ax)$を微分せよ．ただし，$a>0$かつ$a \neq 1$とする．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\int_1^{x^2+1}t^2(t-1)^5 \, dt$を微分せよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1-x}{1+x} \, dx$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．
国立 三重大学 2013年 第4問$e$で自然対数の底を表す．関数$f(x)$を
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+e}) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を微分せよ．また$f^\prime(x)$が偶関数であることを示せ．
(2)定積分
\[ \int_{-1}^1 f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \]
を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_{-1}^1 x^{2n} f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+e}) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を微分せよ．また$f^\prime(x)$が偶関数であることを示せ．
(2)定積分
\[ \int_{-1}^1 f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \]
を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_{-1}^1 x^{2n} f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$
国立 宮崎大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$
私立 東京都市大学 2013年 第4問$\log$は自然対数とし，関数$f(x)$を$f(x)=\log (2+\cos x) (-\pi \leqq x \leqq \pi)$とおく．次の問に答えよ．
(1)関数$y=2+\cos x$と$y=\log x$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(1)関数$y=2+\cos x$と$y=\log x$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
私立 東京都市大学 2013年 第4問関数$f(x)$を$f(x)=(2x-1)^2 e^{\frac{1}{x}}$とおく．次の問に答えよ．
(1)関数$y=e^{\frac{1}{x}}$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -0}f(x)$を調べよ．
(4)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(1)関数$y=e^{\frac{1}{x}}$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -0}f(x)$を調べよ．
(4)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
私立 広島国際学院大学 2013年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$216^{\frac{1}{3}}$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \log_3 3 \sqrt{5}+0.5 \log_3 \frac{9}{5}$を簡単にしなさい．
(3)関数$y=3 x^3+4x^2+5$を微分しなさい．
(4)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int (-x^2+4x+3) \, dx \]
(1)$216^{\frac{1}{3}}$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \log_3 3 \sqrt{5}+0.5 \log_3 \frac{9}{5}$を簡単にしなさい．
(3)関数$y=3 x^3+4x^2+5$を微分しなさい．
(4)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int (-x^2+4x+3) \, dx \]
私立 藤田保健衛生大学 2013年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$f(t)=be^{at}$（$a,\ b$：定数）を微分した答えを$f(t)$を用いて表すと，
\[ \frac{d}{dt}f(t)=[ ] \qquad \cdots\cdots① \]
である．
(2)物体が水平面に対し垂直な方向に落下するものとする．デカルトは時刻$t$での物体の速度について，速度が落下距離に比例するものと考えた．これに従えば，時刻$t$での物体の落下距離を$f(t)$とし，$f(0)=x_0>0$，その比例定数を$c_0>0$とするとき，$①$を満たすような関数が$f(t)=be^{at}$の形で表わされることを用いると$f(t)=[ ]$である．
(3)一方，ガリレオは速度が落下した時間に比例すると考えた．時刻$T$で落下しはじめた物体の，時刻$t (t \geqq T)$での高さを$g(t)$とし，$g(T)=x_1>0$，その比例定数を$c_1>0$とするとき，$g(t)=[ ]$である．
(1)$f(t)=be^{at}$（$a,\ b$：定数）を微分した答えを$f(t)$を用いて表すと，
\[ \frac{d}{dt}f(t)=[ ] \qquad \cdots\cdots① \]
である．
(2)物体が水平面に対し垂直な方向に落下するものとする．デカルトは時刻$t$での物体の速度について，速度が落下距離に比例するものと考えた．これに従えば，時刻$t$での物体の落下距離を$f(t)$とし，$f(0)=x_0>0$，その比例定数を$c_0>0$とするとき，$①$を満たすような関数が$f(t)=be^{at}$の形で表わされることを用いると$f(t)=[ ]$である．
(3)一方，ガリレオは速度が落下した時間に比例すると考えた．時刻$T$で落下しはじめた物体の，時刻$t (t \geqq T)$での高さを$g(t)$とし，$g(T)=x_1>0$，その比例定数を$c_1>0$とするとき，$g(t)=[ ]$である．