「微分係数」について
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私立 津田塾大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．次数が$n$の多項式$P(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$について$a_1=P^\prime(0)$であることを確かめよ．ただし，$P^\prime(0)$は$P(x)$の$x=0$における微分係数である．
(2)自然数$n$に対して，$f_n(x)=(x+1)(x+2) \cdots (x+n)$で与えられる$n$次多項式$f_n(x)$の$1$次の係数を$c_n$とする．$f_{n+1}(x)=(x+n+1)f_n(x)$を用いて，$c_{n+1}=n!+(n+1)c_n$が成り立つことを示せ．また，それを用いて，$\displaystyle c_n=n! \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right)$であることを示せ．
(1)$n$を自然数とする．次数が$n$の多項式$P(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$について$a_1=P^\prime(0)$であることを確かめよ．ただし，$P^\prime(0)$は$P(x)$の$x=0$における微分係数である．
(2)自然数$n$に対して，$f_n(x)=(x+1)(x+2) \cdots (x+n)$で与えられる$n$次多項式$f_n(x)$の$1$次の係数を$c_n$とする．$f_{n+1}(x)=(x+n+1)f_n(x)$を用いて，$c_{n+1}=n!+(n+1)c_n$が成り立つことを示せ．また，それを用いて，$\displaystyle c_n=n! \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right)$であることを示せ．
私立 中央大学 2010年 第3問関数
\[ f(x)=|x| \left( \frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x \right)-\frac{3}{4}x^2+1 \]
に対し，以下の設問に答えよ．
(1)$a<0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f^\prime(a)$を求めよ．
(2)$b>0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=b$における微分係数$f^\prime(b)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の区間$-2 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
\[ f(x)=|x| \left( \frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x \right)-\frac{3}{4}x^2+1 \]
に対し，以下の設問に答えよ．
(1)$a<0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f^\prime(a)$を求めよ．
(2)$b>0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=b$における微分係数$f^\prime(b)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の区間$-2 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．