タグ「微分係数」の検索結果

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茨城大学 国立 茨城大学 2015年 第1問
以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり,$e$は自然対数の底である.

(1)関数$f(x)=x^2 \sqrt{1+\log x}$の$x=e^3$における微分係数$f^\prime(e^3)$を求めよ.
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において,$2$つの曲線$y=\sin x$と$\displaystyle y=\sin \frac{x}{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1}{x^3-8} \int_2^x t^2 \, 2^{t^2} \, dt$を求めよ.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2015年 第2問
次の問いに答えなさい.

(1)$a$を実数の定数とし,$x$の関数$f(x)=ax^2+4ax+a^2-1$を考える.区間$-4 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値が$5$であるとき,定数$a$の値を求めなさい.
(2)$f(x)$および$g(x)$は$x=a$で微分可能な関数とする.このとき,極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h} \]
を$f(a)$,$g(a)$および微分係数$f^\prime(a)$,$g^\prime(a)$を用いて表しなさい.
津田塾大学 私立 津田塾大学 2015年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)数列$\{a_n\}$は$a_1=1$,および$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対して
\[ 5^{n-1} \times a_1+5^{n-2} \times a_2+\cdots +5 \times a_{n-1}+a_n=0 \]
をみたす.このとき$a_n (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ.
(2)$n$を自然数とし,$f(x)=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n)$とおく.このとき$f(x)$の$x=n$における微分係数$f^\prime(n)$は$n!$に等しいことを示せ.
弘前大学 国立 弘前大学 2014年 第3問
$a>0$,$b>1$とする.関数$f_1(x)=-2x^2-x+3$と$f_2(x)=ax^2-a(b+1)x+ab$に対し,関数$f(x)$を$x \leqq 1$のとき$f(x)=f_1(x)$,$x>1$のとき$f(x)=f_2(x)$と定める.また関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\int_{-\frac{3}{2}}^x f(t) \, dt$と定める.次の問いに答えよ.

(1)微分係数${f_1}^\prime(1)$と${f_2}^\prime(1)$が等しくなるための$a,\ b$の関係式を求めよ.
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた関係式を満たすとする.$g(x)$の最小値を$b$の値によって場合分けをして求めよ.
茨城大学 国立 茨城大学 2014年 第1問
以下の各問に答えよ.

(1)$\displaystyle \frac{{(1+i)}^3}{-2+3i}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$を求めよ.ただし,$i$は虚数単位である.
(2)$3$つの行列の積$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
1 \\
4
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
2 & 3
\end{array} \right)$を計算せよ.
(3)$f(x)={(x+4)}^{\frac{5}{6}}{(3x+2)}^{\frac{4}{3}}$とする.関数$f(x)$の$x=0$における微分係数$f^\prime(0)$を求めよ.
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \frac{k \pi}{3n}$を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2014年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)実数$x$の関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+4b-2$は,$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-2}=-5$を満たす.ただし,$a,\ b$は実数とする.このとき,

(i) $b$を$a$の式で表すと,$b=[$1$]a-[$2$]$である.
(ii) $x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が,関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しいとき,$a=[$3$]$,$b=[$4$]$である.

(2)実数$a$についての方程式
\[ A=|2a+\displaystyle\frac{4|{3}k}+|a-\displaystyle\frac{8|{9}k} \]
において,$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき$\displaystyle A=\frac{21}{4}$である.ただし,$k$は正の実数の定数とする.このとき,

(i) $\displaystyle k=\frac{[$5$]}{[$6$]}$である.
(ii) $A$の最小値は$\displaystyle \frac{[$7$]}{[$8$]}$であり,このときの$a$の値は$\displaystyle \frac{[$9$][$10$]}{[$11$]}$である.

(3)$n$を自然数とする.数列$\{a_n\}$は,$a_1=5$,$\displaystyle a_{n+1}=\frac{25}{{a_n}^2}$を満たす.このとき,

(i) $a_3=[$12$][$13$]$,$\displaystyle a_4=\frac{[$14$]}{[$15$][$16$]}$である.
(ii) $b_n=\log_5 a_n$とおくとき,数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表すと,
\[ b_n=\frac{\left( [$17$][$18$] \right)^{n-1}}{[$19$]}+\frac{[$20$]}{[$21$]} \]
である.

(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において,$\angle \mathrm{BCD}=60^\circ$,$\mathrm{CD}=2 \sqrt{6}$,$\angle \mathrm{DAB}>\angle \mathrm{CDA}$である.また$2$直線$\mathrm{BA}$,$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$,$2$直線$\mathrm{DA}$,$\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると,$\angle \mathrm{AFB}=45^\circ$,$\mathrm{DE}=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$である.このとき,

(i) $\angle \mathrm{AED}$の大きさは${[$22$][$23$]}^\circ$であり,辺$\mathrm{EB}$の長さは$[$24$]$である.

(ii) 三角形$\mathrm{AED}$の面積は,三角形$\mathrm{CEB}$の面積の$\displaystyle \frac{[$25$]-\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$倍である.

(5)$xy$平面上に放物線$C:2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある.$k$は$k \neq -1$を満たす実数とする.放物線$C$は$-1$を除くすべての実数$k$に対して$2$定点$\mathrm{A}(x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})$,$\mathrm{B}(x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})$を通る.ただし,$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$とする.このとき,

(i) $2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の座標は
\[ (x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})=\left( [$28$][$29$],\ [$30$] \right),\quad (x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})=\left( [$31$],\ [$32$][$33$] \right) \]
である.
(ii) 直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$をおき,$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$をそれぞれ点$\mathrm{P}$と線分で結ぶとき,距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$34$][$35$]}{[$36$]},\ \frac{[$37$][$38$]}{[$39$]} \right)$である.
東京都市大学 私立 東京都市大学 2014年 第2問
次の問に答えよ.

(1)定積分$\displaystyle \int_1^e x^5 \log x \, dx$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n (x^k)^k$とする.微分係数$f^\prime(1)$を$n$で表せ.
(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^2+x}-3x}{1-\displaystyle\frac{1}{x} \cos x}$を求めよ.
茨城大学 国立 茨城大学 2013年 第4問
$a,\ b$を実数として,関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+1$について次の各問に答えよ.

(1)微分係数$f^\prime(0)$,$f^\prime(1)$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a,\ b$の条件を求めよ.
(3)$f(x)$が極大値と極小値をもつとき,極大値と極小値の平均が$1$となるための$a,\ b$の条件を求めて,$ab$平面上に図示せよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2013年 第4問
正の整数$n$について,$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める.
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ.ただし,$\log x$は$x$の自然対数とする.

(1)関数$f_2(x)$を求めよ.
(2)関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し,それを数学的帰納法で証明せよ.
(3)$g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき,$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ.また,微分係数$g^\prime(1)$を求めよ.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2012年 第2問
$2$つの関数
\[ x=g(\theta)=\frac{9}{4}\sin 2\theta, \quad y=h(x)=\log x \]
に対して,関数$g(\theta)$と関数$h(x)$の合成関数
\[ f(\theta) = h(g(\theta)) \]
を考える.ただし,対数は自然対数とする.

(1)$\displaystyle f\left( \frac{\pi}{3} \right) = -[ア]\log 2 + \frac{[イ]}{[ウ]}\log 3$である.

(2)実数$\theta_1$が$\displaystyle \sin \theta_1+\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{82}}{8}$を満たすとき,
\[ f(\theta_1) = - [エ] \log 2 + [オ]\log 3 \]
である.
(3)$f(\theta)$の$\displaystyle\theta=\frac{\pi}{8},\ \theta=\frac{\pi}{12}$における微分係数はそれぞれ
\[ f^{\; \prime} \left( \frac{\pi}{8} \right) = [カ], \quad f^{\; \prime} \left(\frac{\pi}{12}\right) = [キ]\sqrt{[ク]} \]
となる.
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「微分係数」とは・・・

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