「循環小数」について
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私立 北海道薬科大学 2015年 第1問次の各設問に答えよ．
(1)循環小数の差$3. \dot{7} 4 \dot{5}-3. \dot{4}4 \dot{9}$を分数で表すと$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{1}{2-\sqrt{3}} \right)^2$の小数部分は$x^2+[エオ]x+[カキク]=0$の解である．
(3)$\displaystyle \log_9 \frac{45}{7}+\log_3 \sqrt{10.5}+\log_9 3.6$を簡単にすると$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$となる．
(4)${16}^x-3 \cdot 2^{2x+1}-16=0$を満たす$x$の値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(1)循環小数の差$3. \dot{7} 4 \dot{5}-3. \dot{4}4 \dot{9}$を分数で表すと$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{1}{2-\sqrt{3}} \right)^2$の小数部分は$x^2+[エオ]x+[カキク]=0$の解である．
(3)$\displaystyle \log_9 \frac{45}{7}+\log_3 \sqrt{10.5}+\log_9 3.6$を簡単にすると$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$となる．
(4)${16}^x-3 \cdot 2^{2x+1}-16=0$を満たす$x$の値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
私立 昭和大学 2015年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
私立 昭和大学 2015年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．
私立 北里大学 2014年 第1問次の文中の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．
(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．
(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．
(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．
国立 山形大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$つの循環小数$a=1. \dot{2}$，$b=0. \dot{8} \dot{1}$に対して，$ab$の値を求めよ．
(2)$a$を定数とする．$xy$平面上の曲線$y=\log_2x$と直線$y=x+a$は$2$つの共有点をもつ．共有点の$x$座標$x_1,\ x_2$が$x_2=4x_1$を満たすように，$a$の値を定めよ．
(3)$xy$平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ (x>0)$と直線$\displaystyle y=-x+\frac{10}{3}$の$2$つの共有点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$を満たすとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．
(1)$2$つの循環小数$a=1. \dot{2}$，$b=0. \dot{8} \dot{1}$に対して，$ab$の値を求めよ．
(2)$a$を定数とする．$xy$平面上の曲線$y=\log_2x$と直線$y=x+a$は$2$つの共有点をもつ．共有点の$x$座標$x_1,\ x_2$が$x_2=4x_1$を満たすように，$a$の値を定めよ．
(3)$xy$平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ (x>0)$と直線$\displaystyle y=-x+\frac{10}{3}$の$2$つの共有点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$を満たすとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．
私立 吉備国際大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x^2+ax+2x+3a-3$を因数分解せよ．
(2)男$4$人，女$2$人が一列に並ぶとき，女$2$人が隣接する並び方は$[ ]$通り．
(3)$x^2-11x+1>0$を解け．
(4)$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta=[ ]$である．
(5)循環小数$1. \dot{2} \dot{1}$を分数で表せ．
(1)$x^2+ax+2x+3a-3$を因数分解せよ．
(2)男$4$人，女$2$人が一列に並ぶとき，女$2$人が隣接する並び方は$[ ]$通り．
(3)$x^2-11x+1>0$を解け．
(4)$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta=[ ]$である．
(5)循環小数$1. \dot{2} \dot{1}$を分数で表せ．
国立 奈良女子大学 2012年 第3問$a$と$b$は異なる整数で，ともに$0$以上$9$以下とする．有理数$x$が次のように循環小数で表されているとする．
\[ x=0.abababab \cdots \]
次の問いに答えよ．
(1)$99x$は自然数であることを示せ．
(2)$33x$が自然数となるような$x$を$1$つ求めよ．
(3)$11x$が自然数となるときの$a+b$の値を求めよ．
\[ x=0.abababab \cdots \]
次の問いに答えよ．
(1)$99x$は自然数であることを示せ．
(2)$33x$が自然数となるような$x$を$1$つ求めよ．
(3)$11x$が自然数となるときの$a+b$の値を求めよ．
私立 安田女子大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{0.5^2-0.4^2}$を計算せよ．
(2)放物線$y=x^2+4x-1$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．
(3)循環小数$2.0 \dot{3}$を分数で表せ．
(4)半径がそれぞれ$1$である$2$つの円が，一方の円周上に他方の円の中心があるような位置で重なっている．このとき，$2$つの円が重なっている部分の面積を求めよ．なお，円周率は$\pi$とする．
(1)$\sqrt{0.5^2-0.4^2}$を計算せよ．
(2)放物線$y=x^2+4x-1$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．
(3)循環小数$2.0 \dot{3}$を分数で表せ．
(4)半径がそれぞれ$1$である$2$つの円が，一方の円周上に他方の円の中心があるような位置で重なっている．このとき，$2$つの円が重なっている部分の面積を求めよ．なお，円周率は$\pi$とする．
私立 南山大学 2011年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)循環小数$1. \dot{4} \dot{6}$を分数で表すと$[ア]$である．$1. \dot{4} \dot{6}+2. \dot{7}$を循環小数で表すと$[イ]$となる．
(2)$f(\theta)=\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta+\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$とする．$x=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表すと$[ウ]$となる．$0 \leqq \theta \leqq \pi$であるとき，関数$f(\theta)$の最大値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の整数部分が$10$桁になるような整数$n$は$[オ]$個ある．$n$がその中で$4$番目に小さい整数であるとき，$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の最高位の数字は$[カ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(4)円$(x-2)^2+y^2=1$と直線$y=mx$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$m$の値の範囲は$[キ]$であり，原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$[ク]$である．
(5)図のように半径$r$の半球面に円柱が内接している．円柱の体積が最大になるのは円柱の高さが$[ケ]$のときであり，その円柱の体積は$[コ]$である．
（図は省略）
(1)循環小数$1. \dot{4} \dot{6}$を分数で表すと$[ア]$である．$1. \dot{4} \dot{6}+2. \dot{7}$を循環小数で表すと$[イ]$となる．
(2)$f(\theta)=\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta+\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$とする．$x=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表すと$[ウ]$となる．$0 \leqq \theta \leqq \pi$であるとき，関数$f(\theta)$の最大値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の整数部分が$10$桁になるような整数$n$は$[オ]$個ある．$n$がその中で$4$番目に小さい整数であるとき，$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の最高位の数字は$[カ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(4)円$(x-2)^2+y^2=1$と直線$y=mx$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$m$の値の範囲は$[キ]$であり，原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$[ク]$である．
(5)図のように半径$r$の半球面に円柱が内接している．円柱の体積が最大になるのは円柱の高さが$[ケ]$のときであり，その円柱の体積は$[コ]$である．
（図は省略）