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国立 広島大学 2016年 第5問数列
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える．この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．
(2)$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．
(3)$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える．この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．
(2)$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．
(3)$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．