$4$の数字が書かれたカードが$1$枚，$3$の数字が書かれたカードが$1$枚，$2$の数字が書かれたカードが$2$枚，$1$の数字が書かれたカードが$2$枚，$0$の数字が書かれたカードが$4$枚ある．これら$10$枚のカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．

(1)左から$4$番目までの$4$枚のカードに書かれた数がすべて$0$となる確率を求めよ．
(2)右から$1$番目のカードに書かれた数の期待値を求めよ．
(3)左から$3$番目までの$3$枚のカードに書かれた$3$つの数について，次の条件$①,\ ②$を考える．

\mon[$①$] $3$つの数がすべて異なる．
\mon[$②$] $3$つの数の中で，左から$1$番目のカードに書かれた数$a$が最大である．

条件$①,\ ②$の両方が同時にみたされた場合の得点を$a$とし，それ以外の場合の得点を$0$とする．

(i) 得点が$4$となる確率を求めよ．
(ii) 得点の期待値を求めよ．

座標平面上に4点O$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(4,\ 4)$，C$(0,\ 4)$をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．

1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．

この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．

(1)ゲームの終了時に，点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ．
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ．
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ．

数字$k (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$が記入されたカードがそれぞれ$k$枚あり，さらに，数字$0$が記入されたカードが$1$枚，合計$16$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出し，$2$枚のカードの数が同じ場合は$1$点，異なる場合は大きい方の数の点を得る．ただし，$0$を含む場合は大きい方の数の$2$倍の点を得る．このとき，次の各問に答えよ．

(1)得点が$1$点となる場合は何通りあるか．
(2)得点が$4$点以上となる確率を求めよ．
(3)得点が偶数となる確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である．

(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である．
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$，$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である．
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である．
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(6)$1$から$100$までの整数のうち，$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり，$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある．
(7)$1$個のさいころを投げて，偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし，奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う．このとき，このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である．
(8)図のように，直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している．また，$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする．このとき，
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である．
（図は省略）

$2$つのサイコロを振り，出た目の和が$n$であるとき，$n$の「奇数部分」を得点とする．ただし，自然数$n$の「奇数部分」とは
\[ n=2^km \quad (k \text{は} 0 \text{以上の整数，} m \text{は奇数}) \]
と表したときの$m$のこととする．たとえば
\[ 4=2^2 \times 1,\quad 5=2^0 \times 5,\quad 6=2^1 \times 3 \]
であるので，$4,\ 5,\ 6$の「奇数部分」はそれぞれ$1,\ 5,\ 3$である．

(1)得点が$9$である確率を求めよ．
(2)得点が$1$である確率を求めよ．
(3)得点の期待値を求めよ．

$1$から$3$の番号が$1$つずつ書かれた$3$種類のカードが，書かれた番号と同じ枚数だけ箱に入っている．この箱からカードを引きその番号を得点とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)カードを$1$枚引くときの得点の期待値を求めよ．
(2)カードを$2$枚同時に引くときの得点の合計の期待値を求めよ．

さいころを$4$個同時に振って$x$種類の数字がでたら$x$点とする．例えば$1,\ 2,\ 2,\ 5$がでたら$3$点である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$1$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．

(3)$2$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(4)$3$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．

(5)得点$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{[ツテト]}$である．

さいころを$2$つ同時に投げる試行について，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回の試行で両方とも偶数の目の出る確率を求めよ．
(2)試行を$3$回繰り返すとき，少なくとも$1$回は両方とも偶数の目の出る確率を求めよ．
(3)$1$回の試行で，$2$つのさいころの目が両方とも偶数ならば$4$点，それ以外ならば$2$点の得点がもらえるとする．試行を$3$回繰り返したときにもらえる総得点の期待値を求めよ．

$1$から$9$の数字がそれぞれ書かれた$9$枚のカードから，$\mathrm{A}$グループとして$3$枚，$\mathrm{B}$グループとして$4$枚のカードを選ぶ．次の問いに答えよ．

(1)このような選び方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$グループの数字がすべて$4$以下になる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$グループの最大数が$\mathrm{B}$グループの最小数より小さい場合の得点を$\mathrm{A}$グループの数字の和とし，そうでない場合は得点を$0$とする．得点の期待値を求めよ．

赤玉$n$個，白玉$n$個，合計$2n$個（$n \geqq 2$）の玉を無作為に左から$1$列に並べるとき，得点$X$を次のように定める．

(i) 赤玉が連続している部分が$m$ヶ所（$m \geqq 1$）あり，そこに含まれる赤玉の総数が$l$であるとき，$X=l-m+1$とする．
(ii) 赤玉が連続している部分がないときは，$X=1$とする．

たとえば，$n=5$のとき，赤赤白赤赤白赤白白白ならば，$X=4-2+1=3$である．

(1)$n=6$のとき，並べ方は全部で何通りあるか求めよ．また，このとき$X=1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$となる並べ方はそれぞれ何通りあるか求め，$X$の期待値$E(X)$を求めよ．
(2)$n=k (k \geqq 7)$のとき，$X=3,\ 4$となる並べ方の総数をそれぞれ$k$を用いて表せ．