サイコロを$1$の目が出るまで投げる．ただし，$5$回投げて$1$の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，$2,\ 3,\ 1$の順で目が出れば$2+3+1=6$点，$2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 6$ならば$2+4+3+2+6=17$点となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)$4$以下の自然数$k$に対して，$k$回目に$1$の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$点である確率$P(1)$，$P(2)$，$P(3)$，$P(4)$，$P(5)$をそれぞれ求めよ．
(3)得点が$27$点である確率$P(27)$を求めよ．

サイコロを$1$の目が出るまで投げる．ただし，$5$回投げて$1$の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，$2,\ 3,\ 1$の順で目が出れば$2+3+1=6$点，$2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 6$ならば$2+4+3+2+6=17$点となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)$4$以下の自然数$k$に対して，$k$回目に$1$の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$点である確率$P(1)$，$P(2)$，$P(3)$，$P(4)$，$P(5)$をそれぞれ求めよ．
(3)得点が$27$点である確率$P(27)$を求めよ．

自然数$n$を定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる．競技者は，はじめに{\bf 試行}$1$を行う．
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ，出た目の数を$X$とする．$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する．
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば，$7$を得点として競技を終了する．
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば，{\bf 試行}$2$に進む．

\end{screen}
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる．
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする．
$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する．
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば，$7$を得点として競技を終了する．
そうでないならば，続けてさいころを投げ，(★★)にもどる．

\end{screen}
以下の問いに答えよ．

(1)$n=1$として，{\bf 試行}$1$のみを行う．得点の期待値を求めよ．
(2)$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．
(3)$n=30$とする．{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった．このとき，{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して，競技者は

\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか

どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．

自然数$n$を定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる．競技者は，はじめに{\bf 試行}$1$を行う．
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ，出た目の数を$X$とする．$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する．
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば，$7$を得点として競技を終了する．
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば，{\bf 試行}$2$に進む．

\end{screen}
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる．
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする．
$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する．
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば，$7$を得点として競技を終了する．
そうでないならば，続けてさいころを投げ，(★★)にもどる．

\end{screen}
以下の問いに答えよ．

(1)$n=1$として，{\bf 試行}$1$のみを行う．得点の期待値を求めよ．
(2)$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．
(3)$n=30$とする．{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった．このとき，{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して，競技者は

\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか

どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．

次の各問の$[　]$に数値を入れよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を初項が$-15$，公差が整数$d$の等差数列とする．このとき$a_4<0<a_5$ならば，$d=[1]$となり，
\[ \sum_{n=1}^5 (-1)^{n-1}na_n=[2] \]
である．
(2)$1$から$4$までの数字が，$1$つずつ書いてある$4$枚のカードがある．この中から同時に$2$枚を取り出し，大きい方の数字を$a$とし，小さい方の数字を$b$とするとき，$2a-b$を得点とする．このとき，得点の期待値は，$[3]$であり，得点が$[3]$未満となる確率は，$[4]$である．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$かつ$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，
\[ 1-\tan^2 x=3 \cos (\pi-x)+\frac{2}{\cos (\pi-x)} \]
を満たすとき，
\[ \cos x=[5],\quad \sin x=[6] \]
である．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}={105}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={30}^\circ$，$\mathrm{BC}=6$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[1]$であり，辺$\mathrm{AC}$の長さは$[2]$である．
(2)次の不等式をみたす$x$の値の範囲は，$[3]<x<[4]$である．
\[ \log_2(3x-1)+\log_2(4x+5)<\log_4(7x-1)^2 \]
(3)$3$次方程式$x^3+(2a-1)x^2+(5a+8)x-7a-8=0$は解$x=1$をもつという．この方程式が$3$重解をもつのは，$a=[5]$のときであり，ちょうど$2$つの異なる実数解をもつのは$a=[6]$のときである．
(4)$y=|x^2-4|$のグラフと直線$y=x+k$の共有点の個数が$3$個であるとき，$k$の値は$[7]$または$[8]$である．
(5)$2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$の数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードが箱の中に入っており，箱から同時にカードを$3$枚取り出すという試行を行う．取り出したカードに書いてある数の合計を得点とするとき，得点が$8$点の確率は$[9]$である．また，$1$回の試行における得点の期待値は$[10]$である．

袋の中に赤，白，青，黒の色の球がそれぞれ$5$個ずつ合計$20$個入っている．その袋から$9$個の球を同時に取り出す．取り出された球の中に同じ色の球が$5$個入っているときのみ，色に応じて得点を与え，それ以外の場合の得点は$0$点である．$5$個そろった球の色が赤なら得点は$900$点，白なら$2020$点，青なら$4000$点，黒なら$6000$点とする．得点の期待値を求めよ．

袋の中に赤玉$3$個，白玉$2$個，青玉$1$個が入っている．

(1)袋から玉を$1$個取り出して，色を調べてからもとに戻すことを$2$回繰り返す．その結果，赤玉が$a$回，白玉が$b$回，青玉が$c$回出たとする．このとき，この結果を$(a,\ b,\ c)$と書く．

(i) この結果として得られる$(a,\ b,\ c)$は$[ト]$通りある．

(ii) $(a,\ b,\ c)=(2,\ 0,\ 0)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$，

$(a,\ b,\ c)=(1,\ 0,\ 1)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．

(iii) $(a,\ b,\ c)$という結果に対し，得点$a+2b+3c$を与えることにすると，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$である．

(2)袋から玉を$2$個取り出したとき，赤玉が$\alpha$個，白玉が$\beta$個，青玉が$\gamma$個出たとする．このとき，この結果を$(\alpha,\ \beta,\ \gamma)$と書く．

(i) この結果として得られる$(\alpha,\ \beta,\ \gamma)$は$[ヒ]$通りある．

(ii) $(\alpha,\ \beta,\ \gamma)=(2,\ 0,\ 0)$となる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$，

$(\alpha,\ \beta,\ \gamma)=(1,\ 0,\ 1)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]}$である．

(iii) $(\alpha,\ \beta,\ \gamma)$という結果に対し，得点$\alpha+2 \beta+3 \gamma$を与えることにすると，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$である．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなルールのゲームを行った．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)等式$4x^2=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+4$が$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$の組を定めると，$(a,\ b)=[　]$である．また，このとき$2$次方程式$4x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}$の値は$[　]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$2 \sin^2 x+5 \cos x+1=0$を解くと，$x=[　]$である．また，$0 \leqq y \leqq 2\pi$とするとき，不等式$\cos 2y+\sin y \geqq 0$を満たす$y$の値の範囲は$[　]$である．
(3)$1$から$7$までの数字が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードがある．この中から$3$枚のカードを同時にとりだす．このとき，カードの数字の和が奇数となる確率は$[　]$である．また，カードの数字の和が奇数のときは，その$3$つの数の最大の値を得点とし，カードの数字の和が偶数のときには一律に$5$点を得点とするゲームを考えると，このゲームの期待値は$[　]$点である．