$1$から$20$までの目がふられた正$20$面体のサイコロがあり，それぞれの目が出る確率は等しいものとする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がこのサイコロをそれぞれ一回ずつ投げ，大きな目を出した方はその目を得点とし，小さな目を出した方は得点を$0$とする．また同じ目が出た場合は，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに得点を$0$とする．このとき，$\mathrm{A}$の得点の期待値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)数字$1$が書かれた玉$a$個（$a \geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1$，$X_2$，$X_3$とする．標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき，$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4$，$P(Z>0.5)=0.3$，$P(Z>0.54)=0.2$とする．

白い玉が$3$個，黒い玉が$2$個，赤い玉が$1$個入った袋から，玉を取り出す．白い玉は$0$点，黒い玉は$1$個につき$1$点，赤い玉は$1$個につき$2$点がそれぞれ与えられる．$2$個の玉を同時に取り出したときに与えられる点の合計を得点とする．次の問いに答えよ．

(1)得点が$2$点である確率を求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)袋に白い玉を追加したら，得点の期待値が$\displaystyle \frac{4}{5}$になった．追加した白い玉の個数を求めよ．

箱の中に赤玉が$5$個，黒玉が$3$個，白玉が$1$個入っている．箱から玉を$1$つ取り出し，色を見てから玉を箱に戻す試行を$3$回くり返す．$1$回の試行ごとに，取り出した玉の色が赤なら$1$点，黒なら$-2$点，白なら$0$点を得るものとする．ただし，$3$回とも白玉を取り出した場合は，$10$点を得るものとする．

(1)合計得点が$0$点である確率を求めよ．
(2)合計得点が$-3$点以上かつ$1$点以下である確率を求めよ．

図のようなマス目で，初めに$\mathrm{S}$のマスにコマを置く．さいころをふり，下のルールに従ってコマを動かして，得点するゲームを行う．なお，$\mathrm{G}$のマスに入ったらゲームを終了する．

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\phantom{$\mathrm{G}$} & $\mathrm{G}$ & \phantom{$\mathrm{G}$} \\ \hline
& $\mathrm{S}$ & \\ \hline
\end{tabular}

\begin{itemize}
コマを動かすルール

さいころの目 \qquad 動かし方
\qquad $1,\ 2,\ 3$ \qquad 上に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $4$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 右に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $5$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 左に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $6$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 動かさない
ただし，動かす先のマスがない場合はコマを動かさない．

得点のルール

$(ⅰ)$ $1$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$3$点とする．
$(ⅱ)$ $2$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$2$点とする．
$(ⅲ)$ $3$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$1$点とする．
$\tokeishi$ $3$回までの試行で$\mathrm{G}$のマスに入らなかったときは$0$点とし，ゲームを終了する．

\end{itemize}

(1)得点が$2$点の確率を求めなさい．
(2)得点が$0$点の確率を求めなさい．

さいころ$1$個とコイン$6$枚を用意し，次のようなゲームを行う．まずさいころを投げ，次に出た目の数と同じ枚数のコインを投げる．結果として表の出たコインの数を得点とする．

(1)得点が$6$となる確率を求めなさい．
(2)得点が$4$となる確率を求めなさい．
(3)得点が$2$となる確率を求めなさい．

$3$個のさいころを同時に投げて得点を得るゲームをおこなう．$3$個のさいころのうち，最も大きな目が出たさいころを$1$個だけ，最も小さな目が出たさいころを$1$個だけ，それぞれ取り除き，残った$1$個のさいころの目を$C$とする．とくに，$3$個のさいころの目が一致するときは，その目が$C$である．$C \geqq 4$ならば得点を$C$とし，$C \leqq 3$ならば得点を$0$とする．次の問いに答えよ．

(1)得点が$6$となる確率を求めよ．
(2)得点が$5$となる確率を求めよ．
(3)得点が$4$となる確率を求めよ．
(4)得点の期待値を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．

$1$枚の硬貨を投げて，表が出ると$2$点入り，裏が出ると$-1$点入るゲームを考える．このゲームをくり返し$6$回行ったときの合計得点を$X$点とする．次の問いに答えよ．

(1)$X$が$3$である確率を求めよ．
(2)$X$が負である確率を求めよ．
(3)$X$の期待値を求めよ．

$1$枚の硬貨を投げて，表が出ると$2$点入り，裏が出ると$-1$点入るゲームを考える．このゲームをくり返し$6$回行ったときの合計得点を$X$点とする．次の問いに答えよ．

(1)$X$が$3$である確率を求めよ．
(2)$X$が負である確率を求めよ．
(3)$X$の期待値を求めよ．