「径路」について
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公立 大阪府立大学 2010年 第3問座標平面上において，点$(x,\ y)$から点$(x+1,\ y)$または点$(x,\ y+1)$への移動をN型移動といい，点$(x,\ y)$から点$(x+1,\ y+1)$への移動をS型移動という．$n$を3以上の整数とする．原点Oから出発し，$2n-2$回のN型移動と1回のS型移動を組合せて点$(n,\ n)$に到達する径路の総数を$A(n)$とする．また，このような径路のうち，S型移動を$k$回目の移動として含む径路の総数を$B(n,\ k)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A(3)$を求めよ．
(2)$B(4,\ 1),\ B(4,\ 2)$をそれぞれ求めよ．
(3)$B(n,\ 1)$を$n$を用いて表せ．
(4)一般の$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n-1$に対して，$B(n,\ k)$を$n,\ k$を用いて表せ．
(5)$A(n)$を$n$を用いて表せ．
ただし，$p,\ q,\ r$を非負の整数とし，$p \leqq q \leqq r$とするとき，
\[ \sum_{i=0}^p \comb{p}{i} \cdot \comb{r}{q-i}=\comb{p+r}{q} \]
が成り立つことを用いてもよい．
(1)$A(3)$を求めよ．
(2)$B(4,\ 1),\ B(4,\ 2)$をそれぞれ求めよ．
(3)$B(n,\ 1)$を$n$を用いて表せ．
(4)一般の$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n-1$に対して，$B(n,\ k)$を$n,\ k$を用いて表せ．
(5)$A(n)$を$n$を用いて表せ．
ただし，$p,\ q,\ r$を非負の整数とし，$p \leqq q \leqq r$とするとき，
\[ \sum_{i=0}^p \comb{p}{i} \cdot \comb{r}{q-i}=\comb{p+r}{q} \]
が成り立つことを用いてもよい．