平面上に同じ点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_1$と半径$2$の円$C_2$があり，$C_1$の周上に定点$\mathrm{A}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はそれぞれ$C_1$，$C_2$の周上を反時計回りに動き，ともに時間$t$の間に弧長$t$だけ進む．時刻$t=0$において，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$の位置にあって$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はこの順に同一直線上に並んでいる．$0 \leqq t \leqq 4\pi$のとき$\triangle \mathrm{APQ}$の面積の$2$乗の最大値を求めよ．