$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$つの野球チームが戦い，先に$4$勝したチームを優勝とする．引き分けはないものとし，各試合で$\mathrm{A}$チームが$\mathrm{B}$チームに勝つ確率は$\displaystyle \frac{3}{5}$とする．次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$チームが$4$勝$1$敗で優勝する確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームが最初の$2$試合で負けてしまった．その後，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(3)$4$試合が終わって$\mathrm{A}$チームの$1$勝$3$敗になった．その後，どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合数の期待値を求めよ．

$X,\ Y$は$\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \}$の空でない部分集合で，$X \cap Y$は空集合とする．また，$n$を自然数とする．$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君が以下のルールで対戦する．

(i) $1$回目の対戦では，まず$\mathrm{A}$君がさいころを投げて，出た目が$X$に属するならば$\mathrm{A}$君の勝ちとする．出た目が$X$に属さなければ$\mathrm{B}$君がさいころを投げて，出た目が$Y$に属するならば$\mathrm{B}$君の勝ちとする．
(ii) $1$回目の対戦で勝負がつかなかった場合は，$1$回目と同じ方法で$2$回目以降の対戦を行い，どちらかが勝つまで続ける．ただし，$n$回対戦して勝負がつかなかった場合は引き分けにする．

以下の問いに答えよ．

(1)さいころを投げたとき，$X,\ Y$に属する目が出る確率をそれぞれ$p,\ q$とする．$\mathrm{A}$君が勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$君が勝つ確率が，$\mathrm{B}$君が勝つ確率よりも大きくなるような集合の組$(X,\ Y)$は何通りあるか．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[　]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[　]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[　]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[　]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[　]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[　]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[　]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[　]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[　]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[　]$となる．

Aは$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$と書かれた札を，Bは$2,\ 4,\ 6,\ 8$と書かれた札を手元に持ち，札の数字が書かれた面$(\text{表})$はふせられた状態である．両者は札をよくかき混ぜた後$n$枚の札を引き，表にして数字を比べる．ただし，$n=1$のときは数字の大きい方が勝ちで，両者の数字が等しいときは引き分けとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=1$とする．

(2)引き分けとなる確率を求めよ．
(3)勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり，その他の場合はそれぞれの得点が0となるとき，Aの得点の期待値を求めよ．

(4)$n=2$とする．Aの札の数字の合計と，Bの札の数字の合計が等しくなる確率を求めよ．
(5)$n=1$とする．数直線上にある点Pを，Aが勝ったときは正の方向に2だけ，Bが勝ったときは負の方向に1だけ動かす．ただし，引き分けのときは動かさない．こうした試行を4回繰り返すとき，最初に原点にあった点Pが4回の試行後に原点に位置する確率を求めよ．なお，AとBが引いた札は，試行が終わるごとに各々の手元に戻し，よくかき混ぜて次の試行を行うものとする．

$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の$2$人が，次のゲームを繰り返し行う．
\begin{itemize}
$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$それぞれが，所持しているすべての硬貨を同時に投げる．
表が出た硬貨の枚数が多い方を勝ちとし，枚数が同じ場合は引き分けとする．
勝った方は，負けた方から硬貨を$1$枚もらう．また引き分けの場合は，硬貨のやりとりはしない．
\end{itemize}
ゲーム開始時に，$\mathrm{X}$は$3$枚，$\mathrm{Y}$は$2$枚の硬貨を所持している．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$1$回目のゲームが終了したとき，$\mathrm{X}$の所持する硬貨が$4$枚になる確率を求めよ．
(2)$2$回目のゲームが終了したとき，$\mathrm{X}$の所持する硬貨が$5$枚になる確率を求めよ．

図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}

\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．

(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．

袋に赤玉が$1$個，白玉が$2$個の合計$3$個の玉が入っている．袋から玉$1$個を取り出し，玉の色を確認し，また袋に戻す，という作業を$2$回行い，これを$1$回の試行と考える．この試行を使って，$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の$2$人が以下のようなゲームをすることにした．
\begin{itemize}
取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤であれば，$\mathrm{A}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白であれば，$\mathrm{B}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色が$2$回とも同じ色であれば，引き分けとし，試行を続ける．
\end{itemize}
また，どちらか$1$人が勝ち抜けた後も，同様に玉を$2$回出し入れする試行を続け，以下の場合にゲームを終了させることにした．
\begin{itemize}
残った$1$人が$\mathrm{A}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤である場合．
残った$1$人が$\mathrm{B}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白である場合．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$1$回目の試行で，$\mathrm{A}$君が勝ち抜ける確率，$\mathrm{B}$君が勝ち抜ける確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$3$回目の試行でゲームが終了する確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$君のほうが早く勝ち抜けし，その後，$n$回目の試行で$\mathrm{B}$君がゲームを終了させる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 2$とし，$n$には$\mathrm{A}$君が勝ち抜けるまでの試行の回数も含むものとする．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなルールのゲームを行った．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．

複数の参加者がグー，チョキ，パーを出して勝敗を決めるジャンケンについて，以下の問いに答えよ．ただし，各参加者は，グー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．

(1)$4$人で一度だけジャンケンをするとき，$1$人だけが勝つ確率，$2$人が勝つ確率，$3$人が勝つ確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$n$人で一度だけジャンケンをするとき，$r$人が勝つ確率を$n$と$r$を用いて表わせ．ただし，$n \geqq 2,\ 1 \leqq r < n$とする．
(3)$\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} {}_n \text{C}_r=2^n-2$が成り立つことを示し，$n$人で一度だけジャンケンをするとき，引き分けになる確率を$n$を用いて表わせ．ただし，$n \geqq 2$とする．

$2$つの野球チーム$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が優勝を争うシリーズ戦が行われる．先に$n$試合勝った方が優勝することにする．ただし，各試合において引き分けはないものとし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が相手に勝つ確率はそれぞれ$p,\ q (p+q=1,\ p>0,\ q>0)$とする．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンを試合総数の少ない順にすべて書きなさい．例えば，シリーズ各試合の勝ちチームが順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$であったとき，この場合の勝敗パターンを$\mathrm{AABA}$で表すことにする．
(2)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めなさい．
(3)$n=4$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンの総数と，$\mathrm{A}$が優勝する確率とを求めなさい．