以下の問に答えよ．

(1)それぞれ在庫が$3$個以上ある$5$種類の商品の中から，$3$個の商品を選ぶ選び方は$[ア]$通りである．
(2)$3$つの引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
引き出し$\mathrm{A}$には商品「メガネ」が$3$個と商品「サングラス」が$2$個，引き出し$\mathrm{B}$には商品「メガネ」が$2$個と商品「サングラス」が$5$個入っている．引き出し$\mathrm{C}$には何も入っていない．
いま引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から，それぞれ$1$個ずつ無作為に商品を取り出し，引き出し$\mathrm{C}$に入れた．
その後，引き出し$\mathrm{C}$から無作為に取り出した商品が「メガネ」であったとき，この商品が引き出し$\mathrm{A}$から取り出されたものである確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．

以下の問に答えよ．

(1)それぞれ在庫が$3$個以上ある$5$種類の商品の中から，$3$個の商品を選ぶ選び方は$[ア]$通りである．
(2)$3$つの引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
引き出し$\mathrm{A}$には商品「メガネ」が$3$個と商品「サングラス」が$2$個，引き出し$\mathrm{B}$には商品「メガネ」が$2$個と商品「サングラス」が$5$個入っている．引き出し$\mathrm{C}$には何も入っていない．
いま引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から，それぞれ$1$個ずつ無作為に商品を取り出し，引き出し$\mathrm{C}$に入れた．
その後，引き出し$\mathrm{C}$から無作為に取り出した商品が「メガネ」であったとき，この商品が引き出し$\mathrm{A}$から取り出されたものである確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．

以下の問いに答えよ．

(1)式$(a+b)^6$を展開したときの$a^3b^3$の項の係数を求めよ．
(2)$6$個の引き出しがあり，そのすべてに書類$a$と書類$b$が$1$部ずつ入っている．書類$a$を$4$部と書類$b$を$2$部取り出したい．

(i) $1$個の引き出しから，書類$a$または書類$b$のどちらかしか取り出せないとき，取り出し方は何通りあるか．
(ii) $1$個の引き出しから，書類$a$と書類$b$の両方を取り出してもよいし，片方のみを取り出してもよいし，どちらも取り出さなくてもよいとき，取り出し方は何通りあるか．

(3)(2)$ \ (ⅱ)$における書類の取り出し方の場合の数は，式
\[ (ab+a+b+1)^6 \]
を展開したときの$a^4b^2$の項の係数に等しくなる．その理由をのべよ．