次の問いに答えよ．

(1)$r$を$|r|<1$である実数とする．自然数$n$に対して
\[ S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1} \]
とおく．
\[ S=\lim_{n \to \infty} S_n \]
を$r$の式で表せ．ただし$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nr^n=0$であることを用いてよい．
(2)$n$を自然数とする．$2$人の弓道部員$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が矢を的に命中させる確率は，$\mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{4}{5}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle \frac{1}{2}$である．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が的に向かってそれぞれ$n$回ずつ矢を射る．

(i) $n=1$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_1$とし，$\mathrm{A}$の射る矢が命中せずに$\mathrm{B}$の射る矢が命中する確率を$q_1$とする．$p_1+q_1$を求めよ．
(ii) $n \geqq 2$のとき，$1$回目から$(n-1)$回目まで$\mathrm{A}$の射る矢も$\mathrm{B}$の射る矢も命中せず，$n$回目に$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_n$とする．$p_n$を求めよ．
(iii) $n \geqq 2$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢は$1$回目から$n$回目まで命中せず，$\mathrm{B}$の射る矢は$1$回目から$(n-1)$回目まで命中せずに$n$回目のみ命中する確率を$q_n$とする．$q_n$を求めよ．

(3)$(2)$で求めた$p_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して
\[ E=\sum_{n=1}^\infty (2n-1)p_n \]
とおく．$E$の値を求めよ．

弓道部の$\mathrm{A}$君が矢を射るとき，矢が的に命中する確率を$a (0<a<1)$とする．$n$を自然数とし，$m$を$0 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$\mathrm{A}$君が矢を$n$回射るとき，ちょうど$m$回命中する確率を$p(m,\ n)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$p(1,\ 3)$を$a$の式で表せ．
(2)$p(7,\ 9)$を$a$の式で表せ．
(3)ある自然数$x,\ y (x \leqq y)$について$p(x-1,\ y)=p(x,\ y)$であるとき，$a$の値を$x,\ y$の式で表せ．