「延長」について
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私立 西南学院大学 2014年 第5問円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(8,\ 2)$，$\mathrm{D}(8,\ 8)$で与えられている．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が$\mathrm{CD}$の右側で交わるように点$\mathrm{A}$をとる．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{E}$とし，$\tan \angle \mathrm{CDE}=2$のとき，以下の問に答えよ．
(1)円$\mathrm{O}$の中心の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}$を通る直線の式を求めよ．
(1)円$\mathrm{O}$の中心の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}$を通る直線の式を求めよ．
国立 京都大学 2013年 第1問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{CD}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{CE}$と線分$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，比$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}$を求めよ．
国立 京都大学 2013年 第2問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{CD}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{CE}$と線分$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，比$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}$を求めよ．
国立 富山大学 2013年 第2問$\mathrm{AB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\theta \ \left( 0<\theta<\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$である$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$またはその延長に垂線$\mathrm{BP}$を下ろし，点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \theta=t$とするとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$t$を用いて表せ．
(2)$\theta$を動かすとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積の最大値を求めよ．
(1)$\sin \theta=t$とするとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$t$を用いて表せ．
(2)$\theta$を動かすとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積の最大値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第3問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第3問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
私立 北里大学 2013年 第3問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，辺$\mathrm{AO}$の点$\mathrm{O}$を越える延長上に$3 \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}$となるように点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{HF}$と平面$\mathrm{DEG}$の交点を$\mathrm{L}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$の内積は$[コ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{HF}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}$と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{LF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{LF}}=[ス] \overrightarrow{a}+[セ] \overrightarrow{b}$と表される．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$の内積は$[コ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{HF}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}$と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{LF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{LF}}=[ス] \overrightarrow{a}+[セ] \overrightarrow{b}$と表される．
私立 成城大学 2013年 第2問円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする（$a>b$，$b<c$）．下図のように，円周上に$\mathrm{D}$を，$\angle \mathrm{DBA}=\angle \mathrm{ABC}$となるようにとり，$\mathrm{BD}$を延長した直線と$\mathrm{CA}$を延長した直線が交わる点を$\mathrm{P}$とする．$a,\ b,\ c$を用いた式で空欄$[ア]$～$[コ]$を埋めよ．
$\mathrm{DP}$上に点$\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{DQA}=\angle \mathrm{BAC}$となるようにとる．四角形$\mathrm{ADBC}$は円に内接しているので，$\angle \mathrm{BDA}$と$\angle \mathrm{BCA}$の和は${180}^\circ$であるから，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\triangle \mathrm{QAD}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似である．また，$\mathrm{AD}=[ア]$だから，$\mathrm{QD}=[イ]$である．
$\angle \mathrm{BQA}=\angle \mathrm{BAC}$，$\angle \mathrm{QBA}=\angle \mathrm{ABC}$であるから，$\triangle \mathrm{QBA}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似であり，よって$\mathrm{QB}=[ウ]$となり，$\mathrm{BD}=\mathrm{QB}-\mathrm{QD}$だから，$\mathrm{BD}=[エ]$となる．
また，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\angle \mathrm{P}$は共通より，$\triangle \mathrm{PAD}$と$\triangle \mathrm{PBC}$は相似であるから，$\mathrm{DP}:\mathrm{CP}=[オ]:[カ]$となる．$\mathrm{CP}=\mathrm{AP}+[キ]$より，$\mathrm{DP}=[ク] \mathrm{AP}+[ケ]$となる．方べきの定理より，$\mathrm{DP} \cdot \mathrm{BP}=\mathrm{AP} \cdot \mathrm{CP}$であり，これを$\mathrm{AP}$について解くと$\mathrm{AP}=[コ]$となる．
（図は省略）
$\mathrm{DP}$上に点$\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{DQA}=\angle \mathrm{BAC}$となるようにとる．四角形$\mathrm{ADBC}$は円に内接しているので，$\angle \mathrm{BDA}$と$\angle \mathrm{BCA}$の和は${180}^\circ$であるから，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\triangle \mathrm{QAD}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似である．また，$\mathrm{AD}=[ア]$だから，$\mathrm{QD}=[イ]$である．
$\angle \mathrm{BQA}=\angle \mathrm{BAC}$，$\angle \mathrm{QBA}=\angle \mathrm{ABC}$であるから，$\triangle \mathrm{QBA}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似であり，よって$\mathrm{QB}=[ウ]$となり，$\mathrm{BD}=\mathrm{QB}-\mathrm{QD}$だから，$\mathrm{BD}=[エ]$となる．
また，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\angle \mathrm{P}$は共通より，$\triangle \mathrm{PAD}$と$\triangle \mathrm{PBC}$は相似であるから，$\mathrm{DP}:\mathrm{CP}=[オ]:[カ]$となる．$\mathrm{CP}=\mathrm{AP}+[キ]$より，$\mathrm{DP}=[ク] \mathrm{AP}+[ケ]$となる．方べきの定理より，$\mathrm{DP} \cdot \mathrm{BP}=\mathrm{AP} \cdot \mathrm{CP}$であり，これを$\mathrm{AP}$について解くと$\mathrm{AP}=[コ]$となる．
（図は省略）
公立 奈良県立医科大学 2013年 第6問$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{AI}$の延長が外接円と交わる点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}$の長さが$3$，$\mathrm{AC}$の長さが$4$，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさは${60}^\circ$である．このとき，$\mathrm{DI}$の長さを求めよ．
（図は省略）
（図は省略）