$r$を$1$より大きい実数とする．半径$1$の円$C$の周上に点$\mathrm{Q}$をとる．最初に円$C$の中心$\mathrm{P}$は座標平面の$(0,\ 1)$，点$\mathrm{Q}$は$(0,\ 2)$にあるものとし，円$C$が$x$軸に接しながら$x$軸の正の方向にすべることなく転がっていく．角$\theta$ラジアンだけ回転したとき，半直線$\mathrm{PQ}$上に$\mathrm{PR}=r$となる点$\mathrm{R}$をとる．$\theta$を$0$から$2\pi$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を考える．

(1)$\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi$をみたし，$\theta=\alpha$のときの$\mathrm{R}$の座標と$\theta=\beta$のときの$\mathrm{R}$の座標とが一致するものとする．$\displaystyle t=\frac{\beta-\alpha}{2}$とおくとき，$r$を$t$を用いて表せ．
(2)(1)において，$\theta$を$\alpha$から$\beta$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡によって囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{S}{r^2}$を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とし，円$C_1:(x-a)^2+y^2=a^2$と楕円$\displaystyle C_2:x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$を考える．

(1)$C_1$が$C_2$に内接するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{\sqrt{3}}$とし，$C_1$が$C_2$に内接しているとする．このとき，第1象限における$C_1$と$C_2$の接点の座標$(p,\ q)$を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，$x \geqq p$の範囲において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上の$3$点
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える．

(1)$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和
\[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \]
は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．

$c$を正の定数とする．平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$および$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$，$\mathrm{C}(c,\ 0)$について下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の和$\mathrm{AQ}+\mathrm{BQ}+\mathrm{CQ}$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

図に示したように第$1$象限内に原点を頂点の一つとして有する \\
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
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(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を曲線$C$とする．曲線$C$と直線$y=mx$の交点を点$\mathrm{P}$，曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$との交点を点$\mathrm{Q}$とする．ここで傾き$m$を$\displaystyle m>\frac{1}{2}$の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ．
(3)接線$L$と直線$y=mx$の交点の座標を，$m$を用いて表せ．
(4)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分をそれぞれ$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$とする．曲線$C$と$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積$A$を，$m$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$y$軸に垂直に引いたそれぞれの線分と，$y$軸および曲線$C$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる体積を，$m$を用いて表せ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

$2$つの曲線$C_1:y=|x^2-1|$，$C_2:y=m(x+1)^2 \ (0<m<1)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$の範囲における$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$を$m$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形のうち，$x \leqq \alpha$を満たす部分の面積を$S_1$，$x \geqq \alpha$を満たす部分の面積を$S_2$とおく．$S_1,\ S_2$を，$m$を用いて表せ．
(3)$S_1=S_2$のとき$m$の値を求めよ．

曲線$y=x^2$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2) \ (\alpha<0)$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．また，この接線$\ell$上の点$\mathrm{P}$から，曲線$C$に$\ell$とは異なる接線$m$をひく．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$p$とし，$p>\alpha$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)接線$m$の曲線$C$との接点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線が，直線$\ell$と垂直となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$を(2)で求めたものとする．このとき，点$\mathrm{P}$を通り，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．