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国立 神戸大学 2013年 第2問$p,\ r$を$-r<p<r$をみたす実数とする．$4$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(r,\ p^2)$，$\mathrm{R}(r,\ r^2)$，$\mathrm{S}(p,\ r^2)$に対し，線分$\mathrm{PR}$の長さは$1$であるとする．このとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値と，そのときの$\mathrm{P},\ \mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ求めよ．
国立 神戸大学 2013年 第2問$a,\ b,\ c$は実数とし，$a<b$とする．平面上の相異なる$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(c,\ c^2)$が，辺$\mathrm{AB}$を斜辺とする直角三角形を作っているとする．次の問いに答えよ．
(1)$a$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)$b-a \geqq 2$が成り立つことを示せ．
(3)斜辺$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(1)$a$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)$b-a \geqq 2$が成り立つことを示せ．
(3)斜辺$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
国立 九州大学 2013年 第4問原点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を通る円を$S$とする．点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で円$S$に内接する円$T$が，点$\mathrm{C}$で$y$軸に接しているとき，以下の問いに答えよ．
(1)円$T$の中心$\mathrm{D}$の座標と半径を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．円$S$の短い方の弧$\koa{AB}$，円$T$の短い方の弧$\koa{BC}$，および線分$\mathrm{AC}$で囲まれた図形を$\ell$のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)円$T$の中心$\mathrm{D}$の座標と半径を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．円$S$の短い方の弧$\koa{AB}$，円$T$の短い方の弧$\koa{BC}$，および線分$\mathrm{AC}$で囲まれた図形を$\ell$のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 神戸大学 2013年 第1問空間において，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$を$\ell$上に，点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\ell$上に，点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする．点$\mathrm{T}$を$\ell$上に，点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる．また，$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする．$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$を$\ell$上に，点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\ell$上に，点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする．点$\mathrm{T}$を$\ell$上に，点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる．また，$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする．$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ．
国立 神戸大学 2013年 第1問空間において，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$を$\ell$上に，点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\ell$上に，点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする．点$\mathrm{T}$を$\ell$上に，点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる．また，$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする．$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$を$\ell$上に，点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\ell$上に，点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする．点$\mathrm{T}$を$\ell$上に，点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる．また，$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする．$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ．
国立 九州大学 2013年 第2問座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．
国立 九州大学 2013年 第4問座標平面上の円$(x-1)^2+(y-1)^2=2$を$C$とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線$y=x-2$は円$C$に接することを示せ．また，接点の座標も求めよ．
(2)円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2-1$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{4}x^2-1$の表す領域を$D$とする．また，不等式$|x|+|y| \leqq 2$の表す領域を$A$とし，不等式$(|x|-1)^2+(y-1)^2 \leqq 2$の表す領域を$B$とする．そして，和集合$A \cup B$，すなわち領域$A$と領域$B$を合わせた領域を$E$とする．このとき，領域$D$と領域$E$の共通部分$D \cap E$を図示し，さらに，その面積を求めよ．
(1)直線$y=x-2$は円$C$に接することを示せ．また，接点の座標も求めよ．
(2)円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2-1$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{4}x^2-1$の表す領域を$D$とする．また，不等式$|x|+|y| \leqq 2$の表す領域を$A$とし，不等式$(|x|-1)^2+(y-1)^2 \leqq 2$の表す領域を$B$とする．そして，和集合$A \cup B$，すなわち領域$A$と領域$B$を合わせた領域を$E$とする．このとき，領域$D$と領域$E$の共通部分$D \cap E$を図示し，さらに，その面積を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$を満たす平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．
(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円が領域$D$に含まれるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$が最小となる$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円が領域$D$に含まれるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$が最小となる$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第4問$xy$平面上で，点$(1,\ 0)$までの距離と$y$軸までの距離の和が2である点の軌跡を$C$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)円$\displaystyle x^2+y^2=\frac{9}{4}$と$C$の交点の$x$座標をすべて求めよ．さらに，交点の個数を求めよ．
(1)$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)円$\displaystyle x^2+y^2=\frac{9}{4}$と$C$の交点の$x$座標をすべて求めよ．さらに，交点の個数を求めよ．
国立 千葉大学 2013年 第5問$a,\ b$を実数とし，$a>0$とする．放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$上に$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{4} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{b^2}{4} \right)$をとる．点$\mathrm{A}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$と$n_\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$\ell_\mathrm{B}$と$n_\mathrm{B}$とおいたとき，$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$が直交しているものとする．$2$つの接線$\ell_\mathrm{A},\ \ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$2$つの法線$n_\mathrm{A},\ n_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)長方形$\mathrm{AQBP}$の面積が最小となるような$a$の値と，そのときの面積を求めよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)長方形$\mathrm{AQBP}$の面積が最小となるような$a$の値と，そのときの面積を求めよ．