$a$は正の定数とし，曲線$C_1:y=ax^2 (0 \leqq x \leqq 1)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{a}(x-1)^2 (0 \leqq x \leqq 1)$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$S(a)$を求めよ．
(3)$a$がすべての正の実数を動くとき，$S(a)$の最大値とそれを与える$a$の値を求めよ．

数直線上の座標$x$に点$\mathrm{P}$があるとき，表と裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨$2$枚を$1$回投げて，点$\mathrm{P}$の位置を次のように決める．

$(ⅰ)$ $2$枚とも表が出たときは，座標$x+1$に移動する．
$(ⅱ)$ $2$枚とも裏が出たときは，座標$x-1$に移動する．
$(ⅲ)$ 表と裏が$1$枚ずつ出たときは，移動しない．

点$\mathrm{P}$の最初の位置を座標$0$とする．硬貨$2$枚を$5$回投げ終わったときに，点$\mathrm{P}$が次の位置にある確率をそれぞれ求めよ．

(1)座標$4$
(2)座標 $3$
(3)座標$0$

$f(x)=|x^2-3x+2|$とする．曲線$y=f(x)$を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ f(a))$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<a<2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$の共有点のうち，接点$\mathrm{A}$とは異なる$2$つの点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$で表せ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

$f(x)=\log x$，$g(x)=(\log x)^2$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$と関数$y=g(x)$のグラフを$1$つの座標平面上にかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を$0<a<1$とする．座標空間の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{a},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{1-a} \right)$とする．また，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする四面体に内接する球を$S$とする．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に直交し長さが$1$のベクトルを$a$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と球$S$の接点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)球$S$の半径を$a$を用いて表せ．
(4)球$S$の体積の最大値を求めよ．

次式で与えられる$2$つの放物線$C_1,\ C_2$について，以下の問いに答えよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=ax^2+1 \]
ただし，$a$は$0$でない定数とする．

(1)$C_1$と$C_2$が$2$個の共有点をもつように，定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ．さらに，そのときの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき，第$1$象限における$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

$y=2(x-1)(x^2-2x-2)$で与えられる平面上の曲線$C$を考える．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて答えなさい．
(2)$x=a$で曲線$C$と接する接線の方程式を$a$を用いて答えなさい．
(3)$x=a$で曲線$C$と接する接線と$y$軸との交点の$y$座標を$b$とする．$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a \leqq 3$における$b$の最小値と最大値を答えなさい．また，$b$の値が最小，最大となるときの$a$の値をそれぞれ答えなさい．

以下の各問いに答えよ．

(1)$a$は実数とする．極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ．
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき，$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを$2$回振り，$1$回目に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．また，公正なコインを$1$回投げ，表が出たら$c=1$，裏が出たら$c=-1$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める．次の問いに答えよ．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ．
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする．

行列$\left( \begin{array}{cc}
3 & -1 \\
4 & -1
\end{array} \right)$で表される移動によって点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{A}^\prime$に，点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{B}^\prime$に移るとする．$\mathrm{O}$を原点とする．$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{A}=\mathrm{A}^\prime$であって，かつ四角形$\mathrm{OAB}^\prime \mathrm{B}$が長方形のとき，点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

互いに異なる$2$つの正の実数$a,\ b$をそれぞれ底とする$2$つの対数関数を考え，これらのグラフ$C_a:y=\log_ax$，および，$C_b:y=\log_bx$を図に示した．また，図中の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$はそれぞれ，直線$x=t (t>0,\ t \neq 1)$と$C_a$，$C_b$，および$x$軸との交点である．$t=a$のとき，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}=3:2$であった．次の問に答えなさい．
（図は省略）

(1)$a,\ b,\ 1$それぞれの間に成り立つ大小関係を調べなさい．
(2)条件$t \neq 1$，$t>0$を満たす任意の実数$t$に対して定まる$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$について，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}$を求めなさい．
(3)図中の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は各々$C_a$，$C_b$上の点であり，各々の$y$座標は互いに等しく，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$8$である．このとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標$u$の値を求めなさい．