$xy$平面上に関数$y=e^x$のグラフ$C_1$と関数$y=a \sqrt{x} (a>0)$のグラフ$C_2$があり，ただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$をもち，点$\mathrm{A}$で同一の接線をもつ．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の$x$座標と$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸で$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

$f(x)=x^2-4$，$g(x)=x(x^2-1)$とし，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+y^2 \leqq 8 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
f(x)g(x) \geqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

(1)$f(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(4)$xy$平面上に領域$D$を図示せよ．
(5)領域$D$の面積を求めよ．
(6)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$2x+y$の最大値と最小値を求めよ．最大値と最小値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標も答えること．

以下の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．

(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$がある．点$\mathrm{P}$が直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$上を動くとき，長さ$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．

(4)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．

(5)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．

\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．

(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．

曲線$C_1:y=x^3-3x$と，$C_1$を$x$軸方向に$2$だけ平行移動して得られる曲線$C_2$との交点の$x$座標は，$\displaystyle \frac{[ホ] \pm \sqrt{[マ]}}{[ミ]}$である．

$\displaystyle \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx=\frac{[ムメ]}{[モ]}(b-a)^3$を利用すると，$C_1$と$C_2$で囲まれる面積は，$\displaystyle \frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラ]}$である．

円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(8,\ 2)$，$\mathrm{D}(8,\ 8)$で与えられている．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が$\mathrm{CD}$の右側で交わるように点$\mathrm{A}$をとる．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{E}$とし，$\tan \angle \mathrm{CDE}=2$のとき，以下の問に答えよ．

(1)円$\mathrm{O}$の中心の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}$を通る直線の式を求めよ．

$x$座標，$y$座標がともに整数である点（格子点）に対し，座標$(1,\ 0)$を番号$1$，座標$(2,\ 0)$を番号$2$，座標$(2,\ 1)$を番号$3$として，$x$座標が大きくなるにしたがい，図のように点を積み重ねていき，番号$4,\ 5,\ \cdots$と付けていく．このとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)座標$(30,\ 29)$の番号は$[タチツ]$である．

(2)座標$(n,\ 0)$の番号は$\displaystyle \frac{n^2+[テト]n+[ナ]}{2}$である．

(3)番号が$98$となる座標は$([ニヌ],\ [ネ])$である．

$y=-x^2$で表される放物線を$G$とし，$y=-x+1$で表される直線を$\ell$とする．

$G$上の点と$\ell$上の点との距離が最小となるときの

$G$上の点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$となり，

$\ell$上の点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$となる．
また，そのときの$G$上の点と$\ell$上の点との距離は$\displaystyle \frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$となる．

点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，$x^2+y^2=1$，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$を満たすものとする．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．

(2)$x=\cos \theta,\ y=\sin \theta$とおくと，
\[ x^2-y^2+2 \sqrt{3} xy=[ソ] \sin \left( [タ] \theta+\frac{\pi}{[チ]} \right) \]
である．
(3)$x^2-y^2+2 \sqrt{3}xy$の最大値は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$のとき$[ト]$である．

放物線$y=x^2$と直線$y=x+y_0$について以下の問いに答えよ．

(1)放物線と直線が共有点をもつとき，放物線と直線の共有点の座標を求めよ．
(2)$y_0=2$のとき，放物線と直線に囲まれた図形の面積$S$を求めよ．