「座標」について
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私立 獨協医科大学 2014年 第5問関数$f(x)=2x+\cos x$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし，$C$と直線$y=2x$，および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする．領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう．
（図は省略）
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．
（図は省略）
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．
私立 成城大学 2014年 第2問直線$\ell:y=2x+1$と$2$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 1)$がある．
(1)直線$\ell$上にあり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から等距離にある点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心として，線分$\mathrm{AB}$に接する円の方程式を求めよ．
(1)直線$\ell$上にあり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から等距離にある点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心として，線分$\mathrm{AB}$に接する円の方程式を求めよ．
私立 星薬科大学 2014年 第5問$2$つの放物線$C_1:y=x^2-3$，$C_2:y=x^2-6x+9$と，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線$\ell$について次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$との交点の座標は$([$42$],\ [$43$])$である．
(2)$C_1$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$44$]}{[$45$]},\ -\frac{[$46$][$47$]}{[$48$]} \right)$であり，$C_2$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$49$]}{[$50$]},\ \frac{[$51$]}{[$52$]} \right)$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$]}$である．
(1)$C_1$と$C_2$との交点の座標は$([$42$],\ [$43$])$である．
(2)$C_1$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$44$]}{[$45$]},\ -\frac{[$46$][$47$]}{[$48$]} \right)$であり，$C_2$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$49$]}{[$50$]},\ \frac{[$51$]}{[$52$]} \right)$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$]}$である．
私立 星薬科大学 2014年 第6問空間内の$2$点$(-1,\ 3,\ -2)$，$(-3,\ 2,\ -1)$を通る直線$\ell$がある．$x$軸上の点$\mathrm{P}$と$\ell$上の点$\mathrm{Q}$との距離が最小になるときの$\mathrm{P}$の座標は$(-[$55$],\ 0,\ 0)$，$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left(-[$56$],\ \frac{[$57$]}{[$58$]},\ \frac{[$59$]}{[$60$]} \right)$であり，その距離の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$61$]}}{[$62$]}$である．
私立 昭和薬科大学 2014年 第3問点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ -1)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ 1)$に平行な直線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{B}(-4,\ -2,\ 2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(-1,\ 1,\ 1)$に平行な直線$m$上の点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を媒介変数$s$を用いて，また，点$\mathrm{Q}$の座標を媒介変数$t$を用いて表せ．ただし，$s=1$のとき$\mathrm{P}(4,\ 2,\ 0)$，$t=1$のとき$\mathrm{Q}(-5,\ -1,\ 3)$とする．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$2$直線$\ell$と$m$に直交するときの$s$と$t$の値を求めよ．
(3)$2$直線$\ell$と$m$との間の距離を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を媒介変数$s$を用いて，また，点$\mathrm{Q}$の座標を媒介変数$t$を用いて表せ．ただし，$s=1$のとき$\mathrm{P}(4,\ 2,\ 0)$，$t=1$のとき$\mathrm{Q}(-5,\ -1,\ 3)$とする．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$2$直線$\ell$と$m$に直交するときの$s$と$t$の値を求めよ．
(3)$2$直線$\ell$と$m$との間の距離を求めよ．
私立 東京薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{7})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})=[アイ]$
(2)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+5$が，$x=-2$で極大値を，$x=1$で極小値をとるなら，
\[ a=\frac{[$*$ ウ]}{[エ]},\quad b=[$*$ オ] \]
である．
(3)座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$があり，点$\mathrm{P}$は$t$を実数として，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
を満たす．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[カキ]}{[クケ]}$のときである．
このとき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角は${[コサ]}^\circ$である．
(4)$1$階，$2$階，$4$階，$5$階にだけ停止する荷物用のエレベーターで，$1$階にある$10 \, \mathrm{kg}$，$20 \, \mathrm{kg}$，$30 \, \mathrm{kg}$の$3$個の荷物の全てを上階に運ぶ．一つの階に運ばれる荷物が複数個や$0$個になることを認めると，荷物の運び方は$[シス]$通りである．$10 \, \mathrm{kg}$を$1$階分上げるごとに$1$単位の電力が必要であると仮定すると，$3$個の荷物を上げるために必要な電力の期待値は$[セソ]$単位である．
(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{7})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})=[アイ]$
(2)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+5$が，$x=-2$で極大値を，$x=1$で極小値をとるなら，
\[ a=\frac{[$*$ ウ]}{[エ]},\quad b=[$*$ オ] \]
である．
(3)座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$があり，点$\mathrm{P}$は$t$を実数として，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
を満たす．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[カキ]}{[クケ]}$のときである．
このとき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角は${[コサ]}^\circ$である．
(4)$1$階，$2$階，$4$階，$5$階にだけ停止する荷物用のエレベーターで，$1$階にある$10 \, \mathrm{kg}$，$20 \, \mathrm{kg}$，$30 \, \mathrm{kg}$の$3$個の荷物の全てを上階に運ぶ．一つの階に運ばれる荷物が複数個や$0$個になることを認めると，荷物の運び方は$[シス]$通りである．$10 \, \mathrm{kg}$を$1$階分上げるごとに$1$単位の電力が必要であると仮定すると，$3$個の荷物を上げるために必要な電力の期待値は$[セソ]$単位である．
私立 北里大学 2014年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）
私立 東京女子大学 2014年 第2問実数$t$に対して$\displaystyle f(t)=\frac{t+|t|}{2}$とおく．このとき座標平面において不等式
\[ \frac{1}{4}x^2-1 \leqq y \leqq f(2-x^2) \]
が表す領域を図示し，その面積を求めよ．
\[ \frac{1}{4}x^2-1 \leqq y \leqq f(2-x^2) \]
が表す領域を図示し，その面積を求めよ．
私立 東京女子大学 2014年 第6問座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$が条件$2a^2+b=1$をみたしながら動くとき，点$\mathrm{Q}(-4a-b,\ -a)$の描く軌跡を座標平面内に図示せよ．
私立 東京女子大学 2014年 第7問座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -1)$，$\mathrm{B}(-5,\ -4,\ 3)$を通る直線を$\ell$とおく．以下の設問に答えよ．
(1)$\ell$は点$\mathrm{C}(-2,\ -3,\ 1)$を通ることを示せ．
(2)$\mathrm{O}$を原点として$\mathrm{C}$とは異なる$\ell$上の点$\mathrm{D}$が$\mathrm{OD}=\mathrm{OC}$をみたすとき，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(1)$\ell$は点$\mathrm{C}(-2,\ -3,\ 1)$を通ることを示せ．
(2)$\mathrm{O}$を原点として$\mathrm{C}$とは異なる$\ell$上の点$\mathrm{D}$が$\mathrm{OD}=\mathrm{OC}$をみたすとき，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．