次の空欄$[ア]$～$[エ]$を適当に補え．

(1)放物線$y=4x^2-4x+8$の頂点の座標は$[ア]$である．
(2)方程式$2 \cdot 4^x+2^x-1=0$の解は，$x=[イ]$である．

(3)関数$f(x)=x^2$について，$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{f(3+h)-f(3)}=[ウ]$である．

(4)白球$4$個，黒球$3$個，赤球$2$個が入っている袋から，$2$個の球を同時に取り出すとき，$2$個の球が異なる色である確率は$[エ]$である．

以下の不等式$(ⅰ)$～$\tokeigo$をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S$とする．

$(ⅰ)$ $-x+2y \leqq 20$
$(ⅱ)$ $2x+3y \leqq 44$
$(ⅲ)$ $4x-y \leqq 32$
$\tokeishi$ $x \geqq 0$
$\tokeigo$ $y \geqq 0$

次の問いに答えよ．

(1)領域$S$において$x+3y$を最大にする点$\mathrm{A}(x,\ y)$の$x$座標は$[オ]$，$y$座標は$[カ]$である．このとき$x+3y$の最大値$M$は$[キ]$である．
(2)$a$を実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が，$(1)$で求めた点$\mathrm{A}(x,\ y)$のみの場合，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値の範囲は
\[ [ク]<\frac{a}{b}<[ケ] \]
である．
(3)$a$を正の実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が複数あるとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値は$[コ]$である．
(4)$c$を実数とし，上記の不等式$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$\tokeishi$，$\tokeigo$と不等式
\[ (ⅲ)^* 4x-y \leqq c \]
をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S^{*}$とする．領域$S^*$において$x+3y$の最大値が$(1)$で求めた$M$であるとすると，$c$がとりうる最小値は$[サ]$である．

平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$および直線$\ell:x+y=2$がある．直線$\ell$上に点$\mathrm{P}(t,\ -t+2)$をとる．次の各問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{APB}=\theta$とおく．このとき，常に$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$となることがわかっている．
$(1$-$1)$ $t=-2$のとき，$\tan \theta$の値を求めよ．
$(1$-$2)$ $\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{APB}=\theta$を最大にする点$\mathrm{P}$の座標，およびそのときの$\tan \theta$の値を求めよ．

$a$を定数とし，$2$次関数$y=2x^2-4(a-2)x+2a^2-7a+9$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えよ．

(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．

$a$を定数とし，$2$次関数$y=2x^2-4(a-2)x+2a^2-7a+9$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えよ．

(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．

次の$[ノ]$から$[レ]$までの$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．

(1)$\mathrm{A}(-1,\ -2)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の直角三角形のとき，点$\mathrm{C}$は円$x^2+y^2-[ノ]x-[ハ]y-[ヒ][フ]=0$上にある．さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となる点$\mathrm{C}$の座標は$([ヘ],\ -[ホ])$または$(-[マ],\ [ミ])$である．
(2)$\sin x=t$とおくとき，$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=[ム] t^3-[メ] t-[モ]=(t-[ヤ])([ユ] t^2+[ヨ] t+[ラ])$である．
$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=0$のとき，$\displaystyle \sin x=\frac{-[リ]+\sqrt{[ル]}}{[レ]}$である．

つぎの$[　]$にあてはまる答を記せ．

(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\theta=[ア]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である．

(2)$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき，$a$の値は$[ウ]$である．また，この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である．
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である．また，この領域上の点$(x,\ y)$のうち，$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である．
(4)$n$は正の整数とする．階段を$1$度に$1$段，$2$段または$3$段登る．このとき，$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1$であり，$a_2=2$である．

(i) $a_3$の値は$[キ]$である．
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である．
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である．

(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく．直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき，法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である．
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である．

$xy$平面上において，原点を通り傾きが正の直線を$\ell$とする．直線$\ell$上の$y$座標が$1$の点に，$x$軸の正の方向から$x$軸に平行な光線を入射したとき，光線は直線$\ell$と$x$軸で次々と反射を繰り返し，$n$回目に反射した後，入射した経路を逆に進んだとする．このときの直線$\ell$と$x$軸とのなす角を$\theta$とする．直線$\ell$での最初の反射を$1$回目，反射した点を$\mathrm{P}_1$とし，その後光線が反射した点を$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$とする．また，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$とする．

(1)$\theta={30}^\circ$のときの$\mathrm{P}_n$の座標は$[$4$]$である．
(2)$\theta$のうち，その値が整数となるものは全部で$[$5$]$個ある．
(3)$\mathrm{P}_1$から$\mathrm{P}_n$までの光の経路の長さは$[$6$]$である．

$3$つの直線$\ell:ax-y=0$，$m:x-2y-2=0$，$n:x+y-5=0$があり，直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{A}$，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{B}$，直線$m$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とし，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のすべてを通る円を$D$とする．ただし，$a$は実数で$\displaystyle a>\frac{1}{2}$とする．

(1)$\mathrm{BC}$が円$D$の直径となるとき点$\mathrm{A}$の座標は$[$7$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{15}{2}$，かつ$\angle \mathrm{A}$が鋭角であるとき，$a=[$8$]$であり，円$D$の方程式は$[$9$]$となる．

点$(p,\ 0)$を通り，楕円$4x^2+y^2=4$に接する直線の方程式は$y=[$15$]$および$y=[$16$]$で，接点の$x$座標は$x=[$17$]$である．また，$p=[$18$]$のとき，$2$つの接線は直交する．ここで，$p$は実数で$p>2$とする．