次の各問に答えよ．ただし，$(2)$は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx (a>0)$と直線$y=mx$が異なる$2$点で交わるとする．原点と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，放物線と直線で囲まれた図形の面積は$\displaystyle S=\frac{1}{6}a |\alpha|^3$であることを示せ．
(2)$2$つの放物線$C_1:y=a_1x^2+b_1x$，$C_2:y=a_2x^2+b_2x$が異なる$2$点で交わるとする．ただし，$a_1a_2<0$とする．

(i) 放物線$C_1$，$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell:y=mx$とするとき，$m$を求めよ．
(ii) 放物線$C_i$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_i (i=1,\ 2)$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(iii) $m=1$かつ$S_1=S_2$のとき，$a_i,\ b_i (i=1,\ 2)$が満たす条件を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．

座標平面上を動く点$\mathrm{P}$が原点$(0,\ 0)$を出発して，$1$枚の硬貨を投げて表が出たら$x$軸方向の正の向きに$1$だけ進み，裏が出たら$y$軸方向の正の向きに$1$だけ進むとき，次の問いに答えよ．

(1)硬貨を$4$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率を求めよ．
(2)硬貨を$9$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$に到達する確率を求めよ．
(3)硬貨を$9$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 2)$を通らずに，点$(5,\ 4)$に到達する確率を求めよ．

放物線$C_1:y=x^2$と放物線$C_2:y=-(x-a)^2+b$が点$\mathrm{P}(t,\ t^2) (t>0)$において接している．

(1)$a$と$b$を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C_2$と$x$軸との交点のうち，$x$座標の小さい点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．$C_1$と$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$は$t$に無関係な値であることを示せ．

$a$を正の実数とし，$2$つの放物線
\[ C_1:y={\left( 2x+\frac{1}{a} \right)}^2,\quad C_2:y={(x-a)}^2 \]
を考える．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(3)$a$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

直線$4x+3y=48$，$3x-4y=0$と$y$軸のつくる三角形に内接する円の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$である．

直線$4x+3y=48$，$3x-4y=0$と$y$軸のつくる三角形に内接する円の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$である．

原点を$\mathrm{O}$とする空間に点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 3)$，点$\mathrm{P}(4,\ 0,\ -1)$がある．線分$\mathrm{AB}$を直径とする円のうち，直線$\mathrm{OA}$と$2$点で交わるものを円$S$とし，点$\mathrm{A}$以外の交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は$([チ],\ [ツ],\ [テ])$である．
(2)円$S$を含む平面と，点$\mathrm{P}$からこの平面におろした垂線との交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ [ニ],\ -\frac{3}{2} \right)$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に

放物線$C_1:y=x^2$，円$C_2:x^2+(y-a)^2=1 \quad (a \geqq 0)$

がある．$C_2$の点$(0,\ a+1)$における接線と$C_1$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{OAB}$が$C_2$に外接しているとする．次の問に答えよ．

(1)$a$を求めよ．
(2)点$(s,\ t)$を$(-1,\ a)$，$(1,\ a)$，$(0,\ a-1)$と異なる$C_2$上の点とする．そして点$(s,\ t)$における$C_2$の接線と$C_1$との$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$とする．このとき，${(\alpha-\beta)}^2-\alpha^2 \beta^2$は$s,\ t$によらない定数であることを示せ．
(3)$(2)$において，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$から$C_2$への$2$つの接線が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$，$\mathrm{R}(\gamma,\ \gamma^2)$とする．$\beta+\gamma$および$\beta\gamma$を$\alpha$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対し，直線$\mathrm{QR}$は$C_2$と接することを示せ．

$x>0$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x^2}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t^2} \right)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$(t,\ 0)$を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PHQ}$の面積$S_1$を求めよ．
(3)曲線$C$，線分$\mathrm{PQ}$および$\mathrm{Q}$を通る$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．