$a>0$，$b>0$，$c>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$をとり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\mathrm{G}$を通り，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし，$\alpha$と$x$軸，$y$軸，$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ．

$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$が$(1)$で求めた円の周上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となるような点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{B}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$x-3y+2=0$であり，点$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$4x+2y-5=0$である．このとき，$3$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．
(2)$a$を定数とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^3-\frac{15}{4}x^2+8x+5$のグラフと直線$y=2x+a$が共有点を$3$個もち，それらの$x$座標がすべて正の数となるような$a$の値の範囲を求めよ．

直線$y=-x+5$を$\ell$とするとき，次の問に答えよ．

(1)曲線$y=x^3-3x^2+2x+4$上の点$\mathrm{P}$における接線が直線$\ell$であるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$b,\ c$を定数とする，放物線$y=x^2+bx+c$上の点$\mathrm{Q}$における接線が直線$\ell$であるとき，定数$c$の値が最小となるように点$\mathrm{Q}$の座標を定めよ．

次の問いに答えなさい．

$t$を実数とする．座標平面上の$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，軸が$y$軸，頂点が原点$\mathrm{O}$の放物線であり，点$(-2,\ 1)$を通る．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(-1,\ 0)$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．

(1)$f(1)$の値は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\ell$の方程式を$t$を用いて表すと，$y=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に外分する点$\mathrm{G}$の軌跡を求め，またそれを図示しなさい．
(4)$m$が$C$の接線となるとき，$t=[$\mathrm{G]$}$である．このとき，$C$と$\ell$および$m$で囲まれる部分の面積は$[$\mathrm{H]$}$である．

$x$-$y$平面の双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の相異なる$3$点を，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，その$x$座標を，それぞれ，$a,\ b,\ c$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)空欄にあてはまる数式を求め，答のみ解答欄に記入せよ．

直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．よって，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき，$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され，$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．

(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(ii) $a,\ b,\ c$が，$a+b=0$，$c=1$を満たすとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め，その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$がある．正の実数$t$に対して点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，$\angle \mathrm{BPA}=\theta$とおく．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)$\tan \theta$を$t$で表せ．
(2)$\theta$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を定数で$a \neq 0$であるものとし，曲線$y=ax^3+bx^2+cx+d$と直線$y=2x-1$は，$x$座標が$2$である点で接し，$x$座標が$-1$である点で交わるものとする．

(1)$b,\ c,\ d$を$a$で表せ．
(2)これらの曲線と直線で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとき，$a$の値を求めよ．

座標平面上で連立不等式
\[ y \geqq x^2-1,\quad y \leqq x+5,\quad y \leqq -3x+9 \]
の表す領域の面積を求めよ．

$a$を正の実数とする．座標平面上で連立不等式
\[ y \leqq x^2,\quad y \geqq ax,\quad -1 \leqq x \leqq 0 \]
の表す領域の面積を$S_1$とし，連立不等式
\[ y \geqq x^2,\quad y \leqq ax \]
の表す領域の面積を$S_2$とする．このとき，面積の差$S_1-S_2$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．