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私立 近畿大学 2014年 第3問$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$と書く．$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$がともに整数であるような点$\mathrm{P}$を格子点という．次の問に答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．
(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．
私立 産業医科大学 2014年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．
(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．
私立 金沢工業大学 2014年 第2問次の$[ ]$に当てはまるものを下記の$①$～$④$のうちから一つ選び，その番号をマークせよ．ただし，同じものをくり返し選んでもよい．
$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．条件$p,\ q,\ r,\ s,\ t$を次のように定める．
$p:$方程式$ax^2+bx+c=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
$q:$座標平面で関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる．
$r:ac<0$である．
$s:b^2-ac>0$である．
$t:(a+b+c)(a-b+c)<0$である．
このとき，$q$は$p$の$[ケ]$．$r$は$q$の$[コ]$．$s$は$p$の$[サ]$．$t$は$q$の$[シ]$．
\[ \begin{array}{ll}
① \text{必要十分条件である} & ② \text{必要条件であるが，十分条件でない} \\
③ \text{十分条件であるが，必要条件でない} & ④ \text{必要条件でも十分条件でもない}
\end{array} \]
$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．条件$p,\ q,\ r,\ s,\ t$を次のように定める．
$p:$方程式$ax^2+bx+c=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
$q:$座標平面で関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる．
$r:ac<0$である．
$s:b^2-ac>0$である．
$t:(a+b+c)(a-b+c)<0$である．
このとき，$q$は$p$の$[ケ]$．$r$は$q$の$[コ]$．$s$は$p$の$[サ]$．$t$は$q$の$[シ]$．
\[ \begin{array}{ll}
① \text{必要十分条件である} & ② \text{必要条件であるが，十分条件でない} \\
③ \text{十分条件であるが，必要条件でない} & ④ \text{必要条件でも十分条件でもない}
\end{array} \]
私立 金沢工業大学 2014年 第3問$m$を定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$x^2+y^2=4$と直線$y=mx+4$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．
(1)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[アイ] m}{[ウ]+m^2},\ \alpha\beta=\frac{[エオ]}{[ウ]+m^2}$である．
(2)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{[カ] \sqrt{m^2-[キ]}}{\sqrt{[ク]+m^2}}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$のとき，$m=\pm \sqrt{[ケ]}$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[コ] \sqrt{[サ]}$である．
(1)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[アイ] m}{[ウ]+m^2},\ \alpha\beta=\frac{[エオ]}{[ウ]+m^2}$である．
(2)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{[カ] \sqrt{m^2-[キ]}}{\sqrt{[ク]+m^2}}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$のとき，$m=\pm \sqrt{[ケ]}$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[コ] \sqrt{[サ]}$である．
私立 大阪工業大学 2014年 第2問円$C:x^2+y^2=20$と直線$y=2x$の第$1$象限にある共有点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
私立 大阪工業大学 2014年 第4問放物線$C_1:y=x^2+3x+6$について，次の問いに答えよ．
(1)$C_1$上の点$(-1,\ 4)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1$を$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$の交点の座標をすべて求めよ．
(4)$C_2$と$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$C_1$上の点$(-1,\ 4)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1$を$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$の交点の座標をすべて求めよ．
(4)$C_2$と$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 大阪工業大学 2014年 第2問円$C:x^2+y^2=20$と直線$y=2x$の第$1$象限にある共有点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
私立 龍谷大学 2014年 第2問座標平面上の定点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2)$，$\mathrm{D}(3,\ 3)$と動点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から出発する．表の出る確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$，裏の出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$のコインを投げ，そのたびに，表が出れば$x$軸の正方向に$1$，裏が出れば$y$軸の正方向に$1$だけ進む．コインを$6$回投げるとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{P}$が$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の両方を通過して$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の少なくとも$1$つを通過して$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．
(1)$\mathrm{P}$が$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の両方を通過して$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の少なくとも$1$つを通過して$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．
私立 金沢工業大学 2014年 第6問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$をとる．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円$C$を考える．$C$上の点で，第$1$象限にある点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{POA}=\theta$とする．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{OPA}=\frac{\pi}{[ケ]}$であり，$\displaystyle \triangle \mathrm{POA}=\frac{1}{[コ]} \sin \theta \cos \theta$である．
(2)四辺形$\mathrm{OBAP}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \sin 2\theta$である．
(3)$\displaystyle \triangle \mathrm{POB}=\frac{1}{[ス]}+\frac{1}{[セ]} \cos 2\theta$である．
(4)$\triangle \mathrm{PBA}$の面積を$S$とすると，$\displaystyle S=\frac{1}{[ソ]}+\frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]} \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{[ツ]} \right)$であり，$S$は$\displaystyle \theta=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で最大値$\displaystyle \frac{1+\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}$をとる．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{OPA}=\frac{\pi}{[ケ]}$であり，$\displaystyle \triangle \mathrm{POA}=\frac{1}{[コ]} \sin \theta \cos \theta$である．
(2)四辺形$\mathrm{OBAP}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \sin 2\theta$である．
(3)$\displaystyle \triangle \mathrm{POB}=\frac{1}{[ス]}+\frac{1}{[セ]} \cos 2\theta$である．
(4)$\triangle \mathrm{PBA}$の面積を$S$とすると，$\displaystyle S=\frac{1}{[ソ]}+\frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]} \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{[ツ]} \right)$であり，$S$は$\displaystyle \theta=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で最大値$\displaystyle \frac{1+\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}$をとる．
私立 大阪工業大学 2014年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)関数$y=|x^2-2x|$のグラフと直線$y=x-1$の共有点の$x$座標は$[ウ]$と$[エ]$である．ただし，$[ウ]<[エ]$とする．
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，$2$個の目がともに$5$となる確率は$[オ]$であり，少なくとも$1$個の目が$5$以上である確率は$[カ]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$\displaystyle \int_0^2 (6x^2-2ax-a^2) \, dx \geqq 0$となるための必要十分条件は$[キ] \leqq a \leqq [ク]$である．
(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)関数$y=|x^2-2x|$のグラフと直線$y=x-1$の共有点の$x$座標は$[ウ]$と$[エ]$である．ただし，$[ウ]<[エ]$とする．
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，$2$個の目がともに$5$となる確率は$[オ]$であり，少なくとも$1$個の目が$5$以上である確率は$[カ]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$\displaystyle \int_0^2 (6x^2-2ax-a^2) \, dx \geqq 0$となるための必要十分条件は$[キ] \leqq a \leqq [ク]$である．