「座標」について
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国立 山形大学 2014年 第1問$-a<x<a$で定義された曲線$C:y=x \sqrt{a^2-x^2}$がある．ただし$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第2問$0<a<1$とする．曲線$y=|x|x$を$C_1$とし，曲線$y=ax^2+x-a$を$C_2$とする．
(1)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$3$象限にある共有点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の共有点が$2$個であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値をとるとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$3$象限にある共有点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の共有点が$2$個であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値をとるとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第5問曲線$\displaystyle C_1:y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle C_2:y=\cos x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$について，次の問に答えよ．
(1)$2$曲線$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とするとき，$\sin a$の値を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$2$曲線$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とするとき，$\sin a$の値を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第1問数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．点$\mathrm{P}$を次の試行にしたがって数直線上を動かす．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第4問座標平面上の$1$次変換$f$は点$(1,\ 2)$を点$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\sqrt{3},\ 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，点$(3,\ 4)$を点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}-2 \sqrt{3},\ 2+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$に移すとする．$\mathrm{O}$を原点として，次の問に答えよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第1問$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{4} & \displaystyle\frac{1}{2} \\
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$とし，行列$A$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$によって点$\mathrm{P}(0,\ 1)$が点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$に移されるとする．さらに，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$が$f$によって点$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$に移されるとする．
(1)すべての自然数$n$について，点$\mathrm{P}_n$は直線$x+y=1$上にあることを証明せよ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表せ．さらに，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$n$を限りなく大きくするとき，点$\mathrm{P}_n$が近づいていく点の座標を求めよ．
\displaystyle\frac{3}{4} & \displaystyle\frac{1}{2} \\
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$とし，行列$A$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$によって点$\mathrm{P}(0,\ 1)$が点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$に移されるとする．さらに，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$が$f$によって点$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$に移されるとする．
(1)すべての自然数$n$について，点$\mathrm{P}_n$は直線$x+y=1$上にあることを証明せよ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表せ．さらに，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$n$を限りなく大きくするとき，点$\mathrm{P}_n$が近づいていく点の座標を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第3問自然数$n$に対して，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし，線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
国立 香川大学 2014年 第3問自然数$n$に対して，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし，線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．