座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．

座標平面上に，円$C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$と点$\mathrm{Q}(1,\ 2)$がある．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(3,\ 0)$とし，$x$軸上の点$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$を以下の条件によって決め，$\mathrm{P}_n$の座標を$(p_n,\ 0)$とする．

点$\mathrm{P}_n$から円$C$に接線を引き，その$y$座標が正である接点を$\mathrm{T}_n$とする．このとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$は同一直線上にある．（$n=1,\ 2,\ \cdots$）

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{T}_1$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{T}_n$の座標を$p_n$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}_n$の座標を$n$の式で表せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$t>0$のとき
\[ e^t>1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6} \]
が成り立つことを示せ．
(2)座標平面上の点$(0,\ a)$を通って曲線$y=xe^x$に何本の接線が引けるか求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x,\ y$に対して$x^2+y^2+2axy+2bx+1 \geqq 0$が成り立つとする．このとき，実数$a,\ b$が満たすべき条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$のなす領域を座標平面上に図示せよ．
(2)$(1)$の領域を点$(a,\ b)$が動くとき$a^2+b$の最大値と最小値を求めよ．

下図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$が$xyz$空間内にあり，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ 0,\ \sqrt{6})$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{DG}$上の点$\mathrm{N}$を$\mathrm{MN}=4$かつ$\mathrm{DN}<\mathrm{GN}$を満たすように定める．

(1)$\mathrm{N}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る平面と$y$軸との交点$\mathrm{P}$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る平面による平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$の切り口の面積を求めよ．
（図は省略）

$f(x)=x^3-x$とする．$y=f(x)$のグラフに点$\mathrm{P}(a,\ b)$から引いた接線は$3$本あるとする．$3$つの接点$\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$，$\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$，$\mathrm{C}(\gamma,\ f(\gamma))$を頂点とする三角形の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)$\alpha+\beta+\gamma$，$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$および$\alpha\beta\gamma$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{G}$の$x$座標が正で，$y$座標が負となるような点$\mathrm{P}$の範囲を図示せよ．

$xy$平面上に楕円
\[ C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1 \quad (a>\sqrt{13}) \]
および双曲線
\[ C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
があり，$C_1$と$C_2$は同一の焦点をもつとする．また$C_1$と$C_2$の交点
\[ \mathrm{P} \left( 2 \sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}},\ t \right) \quad (t>0) \]
における$C_1$，$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．

(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交することを示せ．
(3)$a$が$a>\sqrt{13}$を満たしながら動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．

座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{array} \right)$の表す一次変換を$f$とする．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，点$\mathrm{P}(2+\cos \theta,\ \sin \theta)$を$f$で移した点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)不等式$a_1 \leqq x \leqq a_2$，$b_1 \leqq y \leqq b_2$の表す領域を$T$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$T$に入るとする．$T$の面積が最小となるときの$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を求めよ．
(3)不等式$(x-2)^2+(y-4)^2 \leqq r^2$の表す領域を$H$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$H$に入るとする．このとき，正の数$r$の最小値を求めよ．

$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．

$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．

最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）

$a$を$a>2$である実数とする．$xy$平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{\sin x \cos x} (0<x<\frac{\pi}{2})$と直線$y=a$の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\tan \alpha$および$\tan \beta$を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれた領域を$S$とする．$S$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$S$を$x$軸の周りに回転して得られる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．