原点を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$x$軸上に点$\mathrm{P}(a,\ 0)$をとる．ただし$a>1$とする．$\mathrm{P}$から$C$へ引いた$2$本の接線の接点を結ぶ直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$が$C$上にあるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}$が$\mathrm{R}$によらず一定であることを示し，その値を$a$を用いて表せ．
(3)$C$上の点$\mathrm{R}$が$\angle \mathrm{PRQ}=90^\circ$をみたすとする．このような$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．

実数$t$に対して$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t+1,\ (t+1)^2)$を考える．

(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a$は定数とし，直線$x=a$と$\ell$の交点の$y$座標を$t$の関数と考えて$f(t)$とおく．$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くときの$f(t)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ．

$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．

$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．

最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$の外部にある点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$にひいた$2$本の接線と$C$との接点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{H}^\prime$とする．$\angle \mathrm{OPH}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{PH}$の長さ，および$\sin \theta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{HH}^\prime=\mathrm{OP}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

実数$a,\ b,\ c,\ d,\ e$に対して，座標平面上の点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(c,\ d)$，$\mathrm{C}(e,\ 0)$をとる．ただし点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$はどちらも原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とは異なる点とする．このとき，実数$s,\ t$で
\[ s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たすものが存在するための，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$についての必要十分条件を求めよ．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2+\frac{3}{2},\quad C_2:y=(x-a)^2+a \quad (a>0) \]
がある．点$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( p,\ -p^2+\frac{3}{2} \right)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．

(1)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないための$a$に関する条件を求めよ．
(2)$\ell_1$と平行な$C_2$の接線$\ell_2$の方程式と，$\ell_2$と$C_2$の接点$\mathrm{P}_2$の座標を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないとする．$(2)$で求めた$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1$を結ぶ線分が$\ell_1$と垂直になるとき，$p$を求めよ．

$i$は虚数単位とし，実数$a,\ b$は$a^2+b^2>0$を満たす定数とする．複素数$(a+bi)(x+yi)$の実部が$2$に等しいような座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合を$L_1$とし，また$(a+bi)(x+yi)$の虚部が$-3$に等しいような座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合を$L_2$とする．

(1)$L_1$と$L_2$はともに直線であることを示せ．
(2)$L_1$と$L_2$は互いに垂直であることを示せ．
(3)$L_1$と$L_2$の交点を求めよ．

点$\mathrm{P}(t,\ s)$が$s=\sqrt{2}t^2-2t$を満たしながら$xy$平面上を動くときに，点$\mathrm{P}$を原点を中心として$45^\circ$回転した点$\mathrm{Q}$の軌跡として得られる曲線を$C$とする．さらに，曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$y=a$と曲線$C$がただ$1$つの共有点を持つような定数$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．

曲線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}(b,\ b^2)$における接線を$\ell_2$とする．ただし，$a<b$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{PR}$，線分$\mathrm{QR}$および曲線$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．

(1)$\mathrm{R}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直であるときの$S$の最小値を求めよ．

二つの関数$f(x)=x \sin x$，$g(x)=\sqrt{3}x \cos x$について次の問いに答えよ．ただし，$(3)$と$(4)$において，$a$および$h(x)$は$(2)$で定めたものとする．

(1)$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点のうち，$x$座標が$-\pi \leqq x \leqq \pi$であるものをすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた共有点のうち，$x$座標が正である点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$とする．点$\mathrm{A}$における曲線$y=g(x)$の接線を$y=h(x)$と表す．$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq a$のとき，$h(x) \geqq g(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq a$の範囲において，$y$軸，曲線$y=g(x)$，および直線$y=h(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．