以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を実数とする．また，実数$x$に対する$2$つの条件$x(x^2+ax+b)=0$と$x=0$が，互いに同値であるとする．このとき，$a$と$b$がみたす関係を求め，点$(a,\ b)$が存在する領域を座標平面に図示せよ．
(2)方程式$20 \cdot {15}^{-x}+{225}^x-21=0$を解け．

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$y=x^2$の上を相異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$は$\angle \mathrm{AOB}$が直角になるように動くとする．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$がみたす関係を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を$y=px+q$とする．$q$の値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．点$\mathrm{H}$の軌跡を求めよ．

関数$y=x^2 e^{-x}$のグラフを曲線$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$をかけ．ただし，$x \leqq 2$の範囲でよい．
(2)曲線$C$が直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$に接していることを示し，その接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き，その接点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ．

座標空間において，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$の定める平面を$\alpha$とし，$3$点$(0,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 1,\ 1)$，$(1,\ 0,\ 1)$の定める平面を$\beta$とする．また，平面$\alpha$と平面$\beta$が交わってできる直線を$\ell$とし，平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(2,\ -1,\ 3)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$上の点を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と実数$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に垂線を下ろす．このとき，直線$\ell$と垂線との交点の座標を求めよ．

$a>1$，$b>0$，$c>0$，$f(t)=a^{-bt}$とする．点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として$x=f(t) \cos t$，$y=f(t) \sin t$のように表されるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$t$について微分せよ．
(2)$t=0$から$t=c$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$l$を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$l$について，$\displaystyle L=\lim_{c \to \infty} l$を$a,\ b$で表せ．
(4)$t=0$から$t=d$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のりが，$(3)$で求めた$L$の$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとする．$a=2$，$b=5$であるとき$d$を求めよ．

$a>0$，$\displaystyle b>\frac{1}{2}$とする．$xy$平面上に，

曲線$C_1$：$y=\log x (x>0)$，曲線$C_2$：$y=ax^2-b (x>0)$

がある．$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{P}$で接している．$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$の関数と考えて$x(b)$とする．$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$b$の関数と考えて$S(b)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(b)$を$b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S \left( \frac{3}{2} \right)$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{b \to \infty} S(b)=1$となることを示せ．

$2$次関数：$y=4x^2+2$と直線：$y=4x+k$について，以下の各問に答えよ．

(1)この$2$次関数と直線がただ一つの共有点をもつときの$k$の値を求めよ．
(2)$k=3$のとき，この$2$次関数と直線の共有点の$x$座標を求めよ．

$xy$平面上に円$C:x^2+y^2+8x-6y+16=0$と直線$\ell:-3x-4y+12=0$がある．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)円$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$D$は直線$\ell$に接し，円$C$と外接している．また，その中心の$y$座標が円$C$の中心の$y$座標に等しい．円$D$の中心の座標と半径を求めよ．

$2$点$\mathrm{A}(x,\ y)$，$\mathrm{B}(X,\ Y)$が原点$\mathrm{O}$を通る同一直線上にある．$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OB}=4$を満たし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は原点$\mathrm{O}$に対し反対側にある．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}(x,\ y)$を$X$と$Y$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$が直線$y=-2x-2$上を動くとき，

(i) 点$\mathrm{B}$の軌跡，
(ii) $\displaystyle\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{AB}}$が最大となる点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標

を求めよ．