曲線$y=x^3-2x \cdots\cdots①$と直線$y=x+k \cdots\cdots②$がある．

(1)$k$の範囲が$[$4$]$のとき，曲線$①$と直線$②$は異なる$3$点を共有する．
(2)$k>0$とする．曲線$①$と直線$②$が異なる$2$点を共有するとき，$1$つは接点で，もう$1$つの共有点の$x$座標は$[$5$]$である．

原点を中心とする半径$5$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ -5)$，$\mathrm{B}(4,\ -3)$がある．

(1)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$1$]$である．
(2)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$2$]$である．
(3)円に内接し，線分$\mathrm{AB}$にも接する円のうち，直径が最大の円の方程式は$[$3$]$である．

座標平面において曲線$y=k(1-x^2)-1$（$k$は正の定数）を$C_1$とし，曲線$y=1-|x|$を$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$C_1$は$k$の値によらない定点を通る．この定点の座標をすべて求めなさい．
(2)$C_1$と$C_2$が共有点をもつような正の定数$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)正の定数$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，$C_1$と$C_2$の共有点の個数を求めなさい．

座標空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ -1,\ 2)$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の周上または内部の点$\mathrm{P}$は$\mathrm{AP}=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めなさい．
(3)点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{A}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の球面上を動くとき，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．

座標平面において楕円$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$C$に接する傾き$m$の直線の方程式をすべて求めなさい．
(2)すべての辺が$C$に接する長方形の$1$辺の傾きが$m$であるとする．この長方形の面積$S(m)$を求めなさい．
(3)$m$がすべての実数を動くとき，$(2)$で求めた$S(m)$の最大値を求めなさい．

座標平面において曲線$\displaystyle y=\frac{3}{x^2+3}$を$C_1$，曲線$y=x^2+k$（$k$は定数）を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$のすべての共有点において互いの接線が直交しているとき，以下の問いに答えなさい．

(1)定数$k$の値を求めなさい．また，$C_1$と$C_2$のすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めなさい．

座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(0,\ 2)$，$\mathrm{Q}(1,\ 0)$をとる．また，$t$を実数とし，放物線$y=(x-t)^2$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C$が$\mathrm{P}$を通るときの$t$の値を求めよ．
(2)$C$が直線$\mathrm{PQ}$に接するときの$t$の値と接点の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と$C$の共有点の個数が$t$によりどのように変化するか記述せよ．

$m>0$とする．座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{P}$を通る傾き$m$の直線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=m \overrightarrow{\mathrm{RP}}$となるように定める．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$(a,\ b)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$m,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2-x$上を動くとき，対応する点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする．$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)$を求めよ．
(3)$(2)$の$f(x)$に対し，$\displaystyle I(m)=\int_0^m f(x) \, dx$とする．$m$を$m>0$の範囲で変化させるとき，$I(m)$を最小にする$m$の値を求めよ．

$a>0$，$b>0$とする．$xy$平面において，原点を通る傾き正の直線が，直線$y=-a$と交わる点を$\mathrm{P}$とし，直線$x=b$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$L^2$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$を定数とし，$p$を$p<0$の範囲で変化させるとき，$L^2$を最小にする$p$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$p$の値を$p_0$とする．また，$c$を$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}$を満たす正の実数とする．$p=p_0$のときの$L^2$の値を$c$を用いて表せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている．線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．