放物線$y=-x^2+4$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$におけるこの放物線の接線と点$\mathrm{P}$で直交する直線を$\ell$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)この放物線上の点$\displaystyle \left( -\frac{3}{2},\ \frac{7}{4} \right)$を通るような直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)この放物線と$x$軸で囲まれた図形は，$(1)$で求めた直線で$3$つの部分に分けられる．点$(0,\ 4)$，$(0,\ 3)$，$(0,\ 2)$を含む部分の面積をそれぞれ$S_1$，$S_2$，$S_3$とするとき，$S_1:S_2:S_3$を求めよ．

座標平面において，中心が原点$\mathrm{O}$で点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を通る円$C_1$と，中心が点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で点$\mathrm{P}$を通る円$C_2$がある．ただし$t>0$とする．$C_1$と$C_2$の$\mathrm{P}$ではない交点を$\mathrm{R}$とし，$C_1$の境界を含む内部と$C_2$の境界を含む内部の共通部分を$D$とする．

(1)直線$\mathrm{PR}$の方程式は$s(x-[ア])+ty=0$である．$s=0$のとき，点$\mathrm{R}$は$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$([イ][ウ],\ [エ])$である．

(2)$s=\sqrt{3} \, t$のとき，点$\mathrm{R}$は$s$と$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$\displaystyle \left( \frac{[オ]}{[カ]},\ \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \right)$である．四角形$\mathrm{OPQR}$は円に内接するとする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left( [ケ],\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \right)$である．また，領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス][セ]} \pi-\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

(3)点$\mathrm{Q}$は$s+t=2$を満たしながら動くとする．線分$\mathrm{QR}$の長さが最小となるような点$\mathrm{R}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$であり，このときの領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{[ナ]}-\frac{[ニ]}{[ヌ]}$となる．ただし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{4}{5} \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$である．

$a$と$b$を定数とし，$2$次関数$y=-x^2+ax+a+b$のグラフを$F$とする．次の問いに答えよ．

(1)グラフ$F$の軸を求めよ．
(2)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有するとき，$a$と$b$の関係を求めよ．
(3)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有し，そのうち$1$つの$x$座標が$3$であるとする．このとき，$b$を$a$で表すと$b=[　]$である．また，もう$1$つの共有点の$x$座標は$[　]$である．
(4)$(3)$で求めた$x$座標が，区間$-3 \leqq x \leqq 0$に含まれるとき，$a$の範囲は$[　]$である．また，このとき，グラフ$F$の頂点の$y$座標の最大値は$[　]$，最小値は$[　]$である．

次の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(6,\ 6)$，$\mathrm{B}(-3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ -2)$，$\mathrm{D}(-6,\ -6)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心の座標は$([ア],\ [イ])$であり，外接円の半径は$[ウ]$である．この円を$C$とする．
(2)円$C$上を動く点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{D}$に対して，線分$\mathrm{DP}$を$1:2$に内分する点の軌跡は円になる．この円の中心の座標は$([エ],\ [オ])$であり，半径は$[カ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$での円$C$の接線を$\ell_1$とする．接線$\ell_1$の方程式は$y=[キ]x+[ク]$であり，$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{E}$の座標は$([ケ],\ 0)$である．
(4)点$\mathrm{E}$を通り，円$C$に接する直線は$2$本ある．$\ell_1$と異なる接線を$\ell_2$とし，$\ell_2$は点$\mathrm{F}$で円$C$に接するとする．点$\mathrm{F}$の座標は$([コ],\ [サ])$であり，$\ell_2$の方程式は$y=[シ]x+[ス]$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．なお，$k>0$として，解答はすべて数あるいは$k$を用いた式で示すこと．

(1)$2$次関数$f(x)=-x^2+(k-1)x+k$を考える．放物線$y=f(x)$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$となり，この放物線上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とすると，$\ell$の方程式は$y=([ウ])x+[エ]$となる．
(2)次に$2$次関数$g(x)=x^2+ax+b$（$a,\ b$は定数）を考える．放物線$y=g(x)$が点$(k,\ 0)$において放物線$y=f(x)$と接線を共有するとき，$a,\ b$の値はそれぞれ$[オ]$，$[カ]$であり，$\ell$と放物線$y=g(x)$との交点の$x$座標はそれぞれ$[キ]$，$[ク]$となる（ただし$[キ]<[ク]$とする）．
(3)さらに$\ell$と放物線$y=g(x)$とで囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$k$で表すと$[ケ]$となる．また，$\ell$は$k=[コ]$のとき放物線$y=g(x)$と$x$軸上で交わり，そのときの$S$は$[サ]$となる．

次の空欄に当てはまる数字を入れよ．

(1)$y=(x-1) |x-2|$のグラフと$y=k$のグラフが異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲は
\[ [ア]<k<\frac{[イ]}{[ウ]} \]
である．
(2)$y=(x-1) |x-2|$のグラフと$y=kx+k-1$のグラフが異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[エ]}{[オ]}<k<[カ]-[キ] \sqrt{[ク]} \]
または
\[ [カ]+[キ] \sqrt{[ク]}<k \]
である．
(3)$k>1$のとき，$y=(x-1) |x-k|$のグラフと$y=kx-k^2+1$のグラフが異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[ケ]}{[コ]}<k \]
である．これらの交点の$x$座標を小さいほうから$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．
このとき，$x_3-x_2=k$となるような$k$の値は$[サ]$である．

$xy$平面において，放物線$C:y=9x^2$を$x$軸方向に$t$（ただし，$t>0$），$y$軸方向に$8$だけ平行移動して得られる放物線を$D$とする．また，$C$上の点$(p,\ 9p^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$D$の方程式は$y=9x^2-[アイ]tx+[ウ]t^2+[エ]$である．
(2)$\ell$の方程式は$y=[オカ]px-[キ]p^2$である．
以下，$\ell$は$D$にも接しているとする．
(3)$p$を$t$を用いて表すと，$\displaystyle p=\frac{[ク]}{[ケ]t}$である．また，$\ell$と$D$の接点の$x$座標$X$を$t$を用いて表すと
\[ X=t+\frac{[コ]}{[サ]t} \]
である．
(4)$X$は$\displaystyle t=\frac{[シ]}{[ス]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$をとる．このとき，$C$と$D$と$\ell$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)座標平面上に$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と，その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=x^2+a$，$C_3:y=bx^2$がある．

(i) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(ii) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^{\frac{2}{3}}$である．

(iii) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle b=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．

(2)$p$を負でない実数とする．$2$次方程式
\[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \]
の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．$p=0$のとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$であり，

$p>0$のとき，$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$[$*$ネ] \sqrt{[ノ]}$であるから，$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]} \pi$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

$y=x^3-2x$の表す曲線$C$がある．

(1)$\alpha \neq 0$のとき，$C$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^3-2 \alpha)$における接線$\ell$の方程式は
\[ y=([$*$あ] \alpha^2+[$*$い])x+[$*$う] \alpha^3 \]
である．
(2)$\ell$が再び$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[$*$え] \alpha$であり，線分$\mathrm{PQ}$と$C$とで囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[おか]}{[き]} \alpha^4$である．
(3)$\alpha>0$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{L^2}{\alpha^2}$が最小になるのは$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$のときである．
(4)原点を除く直線$y=[$*$こ]x$上の点からは，$C$への接線がちょうど$2$本引ける．

原点を中心とした半径$1$の円に内接する正三角形$T_1$がある．$T_1$の頂点の$1$つが$\mathrm{A}(0,\ 1)$であり，$T_1$の残りの頂点のうち，$x$座標が負の値である方を$\mathrm{B}$とする．また，$T_1$を原点に関して対称移動したものを$T_2$とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式は，$[$1$]$である．
(2)直線$\mathrm{AB}$と$T_2$の辺との交点のうち，$x$座標の値が大きい方の座標は$(x,\ y)=[$2$]$である．
(3)$T_1$と$T_2$が重なる部分の面積は$[$3$]$である．