次の問いに答えなさい．

$a,\ b$を正の実数の定数とし，$2$次関数$f(x)=3x^2+ax+b$を考える．$xy$座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．また，$\ell$を$y$軸方向に$3$だけ平行移動した直線を$m$とする．
(1)$C$の頂点の$y$座標を$q$とするとき，$q$は，$a$と$b$を用いて表すと$q=[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$C$と$m$で囲まれる部分の面積$S$の値は$S=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$r$とする．このとき，$r$は，$a$と$b$を用いて表すと$r=[$\mathrm{G]$}$である．また，大小$2$個のさいころを投げ，大きいさいころの出た目の数を$a$の値，小さいさいころの出た目の数を$b$の値とするとき，$\displaystyle 0 \leqq r \leqq \frac{1}{6}$である確率$P$の値は$P=[$\mathrm{H]$}$である．ただし，大小$2$個のさいころはそれぞれ$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
(4)$C$と$x$軸の共有点が$2$個であるとき，その共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする（$\alpha<\beta$）．$C$と$x$軸の共有点が$2$個であり，かつ$a,\ b$それぞれが$1 \leqq a \leqq 6$，$1 \leqq b \leqq 6$を満たす整数であるとき，$\alpha^2+\beta^2$のとり得る値の最大値と最小値を$[い]$で求めなさい．

原点，点$(2,\ 2)$および点$(1,\ \sqrt{3})$を通る円がある．次の問に答えよ．

(1)この円の中心の座標は$([$10$],\ [$11$])$，半径は$[$12$]$である．
(2)点$\mathrm{A}(5,\ 1)$を通り円に接する$2$本の接線を考え，それぞれの接点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とすると，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[$13$] \sqrt{[$14$]}}{[$15$]}$である．

$a>0$として，放物線$C:y=4x^2+2$，直線$\ell:y=ax-6$について次の問に答えよ．

(1)$C$が点$(2,\ 18)$で$\ell$と交わるとき，$a=[$25$][$26$]$となり，点$([$27$],\ [$28$])$でも交わる．
(2)$C$と$\ell$が接する場合$a=[$29$] \sqrt{[$30$]}$となり，接点の座標は
\[ (\sqrt{[$31$]},\ [$32$][$33$]) \]
となる．$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．

$c_y \geqq 0$，$c_z \geqq 0$として，空間に点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{C}(0,\ c_y,\ c_z)$，$\mathrm{D}(-2,\ d_y,\ d_z)$を頂点とする正四面体がある．次の問に答えよ．

(1)この正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$[$51$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[$52$]$である．
(2)点$\mathrm{C}$の座標において
\[ c_y=\frac{[$53$] \sqrt{[$54$]}}{[$55$]},\quad c_z=\frac{[$56$] \sqrt{[$57$]}}{[$58$]}, \]
点$\mathrm{D}$の座標において$d_y=[$59$]$，$d_z=[$60$]$である．

曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>1)$における接線を$\ell$とおく．$C$と$y$軸の共有点を$\mathrm{A}$，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とおく．原点を$\mathrm{O}$とおき，三角形$\mathrm{AOQ}$の面積を$S(t)$とおく．$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，$y$軸，$C$および$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(t)$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を求め，$S(t)$を$t$で表せ．
(3)$T(t)$を$t$で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to 1+0}\frac{T(t)}{S(t)}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$(|x-1|-1)(y-1)>0$の表す領域を図示せよ．
(2)平面上の直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$に関して点$(2,\ 7)$と対称な点の座標を求めよ．
(3)$3$辺の長さが$x,\ 1-2x,\ 2-2x$である直方体がある．このような直方体のなかで体積が最大となるものの体積を求めよ．

$a>b>0$をみたす実数$a,\ b$に対し，曲線$y=ax^2$を$C_1$とし，曲線$y=bx^2$を$C_2$とする．$C_1$上の点$(t,\ at^2) (t \neq 0)$での接線を$L_0$とする．$L_0$と$C_2$の$2$つの交点の$x$座標を$x_1,\ x_2$とする．

(1)$x_1+x_2$と$x_1x_2$を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(2)$C_2$上の点$(x_1,\ b{x_1}^2)$，$(x_2,\ b{x_2}^2)$における接線をそれぞれ$L_1$，$L_2$とする．$L_1$と$L_2$の交点の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(3)$t$の値が変化するとき，$L_1$と$L_2$の交点の軌跡を求めよ．

半円$C_1:x^2+y^2=16 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=x^2+a$について，次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が相異なる$2$つの共有点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもち，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$において$\angle \mathrm{O}={60}^\circ$であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標および$a$の値を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．
(3)$(2)$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$2$つの曲線
\[ C_1:y=x(x-3)^2,\quad C_2:y=m^2x \quad (m \text{は正の実数}) \]
は異なる$3$点で交わるものとする．原点以外の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (0<\alpha<\beta)$とする．

(1)$C_1$は，$x=[ア]$で極大値$[イ]$，$x=[ウ]$で極小値$[エ]$をとる．
(2)$m$の値の範囲は$[オ]<m<[カ]$であり
\[ \alpha=[キ]-m,\quad \beta=[ク]+m \]
である．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの領域の面積が等しくなるのは，$m=[ケ]$のときである．このとき，$2$つの領域の面積の和は$[コ]$となる．

$xy$平面上の曲線$y=-x^2-(a+2)x-2a+1$を$C$とし，直線$y=-x-1$を$L$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$C$と$L$は，定数$a$の値に関係なく，定点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C$と$L$が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$でも交わり，かつ，$\mathrm{Q}$の$x$座標が$\mathrm{P}$の$x$座標よりも大きくなるような最大の整数$a$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた整数$a$に対し，$C$と$L$で囲まれた図形の面積を求めよ．