関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{x} \quad (x>0) \]
を考える．

(1)$x$が正の実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．
(3)不等式
\[ \int_1^n f(x) \, dx>2 \]
を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，自然対数の底$e$は$2.7<e<2.8$を満たすことを用いてよい．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$は次の条件を満たすとする．
\begin{itemize}
楕円$C$は点$\mathrm{A}(0,\ -1)$を通る
楕円$C$の右焦点と直線$x-y+2 \sqrt{2}=0$の距離は$3$である（ただし，楕円の右焦点とは，楕円の$2$つの焦点のうち，$x$座標が正のものをさす．）
\end{itemize}

(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ p)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り，次の条件を満たす直線$\ell$が$p$の値によって何本引けるかを調べなさい．
\begin{itemize}
直線$\ell$は楕円$C$と異なる$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$で交わり，$\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$が成り立つ．
\end{itemize}

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)関数$f(x)=3^x$の導関数は$f^\prime(x)=[ア]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[イ]$である．したがって，座標平面内において，点$(1,\ 3)$における曲線$C:y=f(x)$の接線$\ell$の方程式は$y=[ウ]$であり，法線$m$の方程式は$y=[エ]$である．さらに，曲線$C$，接線$\ell$，$y$軸と直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$[オ]$であり，法線$m$と$x$軸の交点の座標は$([カ],\ 0)$である．
(2)$1$から$9$までの番号札$9$枚を入れた箱がある．その箱から番号札を$1$枚ずつ$2$回取り出して，その数を順に$x,\ y$とする．ただし，$1$度取り出した札はもとに戻さないとする．$\displaystyle \frac{y}{x}$が整数になる確率は$[キ]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x} \leqq \frac{1}{2}$となる確率は$[ク]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x} \geqq 3$となる確率は$[ケ]$である．また，$\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{y}{x}<3$となる確率は$[コ]$である．

$a,\ b$を実数の定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 1)$がある．

三角形$\mathrm{OAB}$において，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ \frac{[ウエ]}{[オ]},\ \frac{[カ]}{[キ]} \right) \]
である．
点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{OH}$の交点を$\mathrm{K}$とする．点$\mathrm{K}$の座標は
\[ \left( \frac{[ク]}{[ケ]},\ \frac{[コ]}{[サ]},\ \frac{[シ]}{[ス]} \right) \]
である．
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$に垂直で，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直であるとする．このとき$a=[セソ]$，$\displaystyle b=\frac{[タ]}{[チ]}$である．以下で，$a,\ b$はこの値であるとする．
線分$\mathrm{CK}$上に$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直になるように点$\mathrm{L}$をとるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OL}}=\left( [ツ],\ [テ],\ \frac{[ト]}{[ナ]} \right) \]
である．そのとき，$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に垂直である．
平面$\mathrm{OAB}$において，三角形$\mathrm{KAB}$の外接円の周上に点$\mathrm{P}$をとるとき，線分$\mathrm{LP}$の長さの最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ニヌ]}}{[ネ]}$である．

$xy$平面上に直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．自然数$n$に対して，この平面上に，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$を次のように定める．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \mathrm{A}_1 \left( \frac{1}{3},\ 0 \right) \\
\text{正方形の頂点は時計回りに$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{B}_n,\ \mathrm{C}_n,\ \mathrm{D}_n$とする．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{D}_n$は$x$軸上にあり，頂点$\mathrm{B}_n$は直線$\ell$上にある．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標は頂点$\mathrm{D}_n$の$x$座標より小さい．} \\
\text{頂点$\mathrm{D}_n$を頂点$\mathrm{A}_{n+1}$とする．}
\end{array} \right. \]
頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標を$x_n$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．

(1)正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}x_n$である．
また，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ウ]}{[エ]}x_n,\ \frac{[オ]}{[カ]}x_n \right)$であるから，すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{[キ]}{[ク]}x$上にある．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ケ]}{[コ]}x_n$である．よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である．ただし，$[サ]$，$[シ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．
\[ \nagamaruichi -n-1 \qquad \nagamaruni -n \qquad \nagamarusan n-2 \qquad \nagamarushi n-1 \qquad \nagamarugo n \qquad \nagamaruroku n+1 \]
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく．$T_n>1$となる最小の$n$は$[ス]$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面内に曲線$C:y=\log (x+1)$，点$\mathrm{P}(t,\ 0)$と点$\mathrm{Q}(t,\ \log (t+1))$を考える．ただし，$t$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$軸，直線$x=t$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$T(t)$とする．次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{T(t)}{S(t)} \]
(3)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(4)台形$\mathrm{OPQR}$の面積を$U(t)$とする．次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{U(t)}{S(t)} \]

座標空間内の$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 5,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(-2,\ 0,\ 0)$がある．また，点$\mathrm{P}(p,\ q,\ r) (r>0)$があり，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PA}}$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標$(p,\ q,\ r)$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{PABC}$の体積を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線の足$\mathrm{H}(p,\ q,\ 0)$に対して，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ求めよ．

$f(x)=2^{-x} \cos x$とし，曲線$C:y=f(x)$と正整数$n$に対して，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の接線と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の法線と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)上の$(1)$と$(2)$で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{P}$の$3$点でできる$\triangle \mathrm{ABP}$の面積$T_n$を$n$を用いて表せ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$の和を求めよ．

次の$[　]$にあてはまるものを入れよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{[ア]}{[イ]}, \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=[ウ], \sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{[エオ]}{[カキ]} \]
である．
(2)恒等式
\[ \frac{3}{(2x-1)(x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{x+1} \]
が成り立つなら$a=[ク],\ b=[ケコ]$である．
(3)$xy$平面上の原点に中心を持つ，半径$3$の円に，点$\mathrm{P}(5,\ 0)$から接線を引いた．このとき，接点は$2$つあり，それらの$x$座標は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．また，接線の傾きは$\displaystyle \pm \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(4)第$n$項が
\[ \frac{4}{n-\sqrt{4n+n^2}} \]
で表される数列の極限値は$[ソタ]$である．

放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$上の点$\displaystyle \left( 4,\ \frac{17}{2} \right)$における接線を$\ell$とする．

(1)点$(4,\ 0)$を通り，接線$\ell$に直交する直線$m$の方程式は
\[ y=-\frac{[モ]}{[ヤ]}x+[ユ] \]
である．
(2)この放物線と直線$m$の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$（ただし$\alpha>\beta$）とすれば$\alpha$は
\[ \alpha=\frac{-[ヨ]+\sqrt{[ラリ]}}{[ル]} \]
である．
(3)この放物線と直線$m$および直線$x=0$で囲まれた図形のうち第$1$象限にある部分の面積を$S_1$，放物線と直線$m$および直線$x=4$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき$2$つの面積の差は
\[ S_2-S_1=\frac{[レロ]}{3} \]
である．