$k$を正の実数とする．直線$\displaystyle \ell:y=\frac{x}{\sqrt{3}}+k$は$x$軸と点$\mathrm{P}$で交わり，円$O:x^2+y^2=1$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．ただし，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は直線$\ell$上にこの順で並び，$\mathrm{AB}=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$x^2-12x+y^2-24y+160=0$で表される円を$C$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$は$([ア],\ [イウ])$で半径は$[エ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[カ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[キ]$である（$[カ]<[キ]$）．
(3)直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<[クケ]$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=[コサ]-\frac{[シ]}{[ス]}k$である．
(4)このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=[セソ]-\frac{[タ]}{[チ]}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{[ツ]}{[テ]}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき最大値$[ニヌ]$をとる．

座標平面上に点$\mathrm{A}(a^3,\ b^3)$がある．ただし，$a>0$，$b>0$とする．点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$が$x$軸，$y$軸の正の部分と交わり，それぞれの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\ell$が$x$軸となす鋭角を$\theta$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$f(\theta)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$を$a,\ b,\ \sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$f(\theta)$が最小となる$\theta$の値を$\alpha$とおく．$\tan \alpha$と$f(\alpha)$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ．

座標平面において，極方程式$r=2 \cos \theta$で表される曲線を$C$とし，$C$上において極座標が$\displaystyle \left(\sqrt{2},\ \frac{\pi}{4} \right)$，$(2,\ 0)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とし，$\mathrm{A}$を中心とし，線分$\mathrm{AB}$を半径にもつ円を$D$とする．

(1)曲線$C$は直交座標において点$([ア],\ [イ])$を中心とし，半径が$[ウ]$の円を表す．
(2)直線$\ell$の極方程式は$\displaystyle r \cos \left( \theta-\displaystyle\frac{\pi}{[エ]} \right)=\sqrt{[オ]}$である．
(3)円$D$の極方程式は$\displaystyle r=[カ] \sqrt{[キ]} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{[ク]} \right)$である．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
座標平面において媒介変数表示された曲線
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
を考え，この曲線で囲まれた図形を$D$とする．右図はこの曲線の概形を表す．

(1)この曲線上の点$(x,\ y)$の$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ア]}$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\ [エ] \right)$であり，$y$座標が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ [ケコ] \right)$である．また，この曲線が原点以外の点で$x$軸と交わるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[サ]}$のときで，その交点の$x$座標は$[シ]$である．

(2)$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{dy}{dx}=[ス]$であり，$\displaystyle \lim_{t \to \pi-0} \frac{dy}{dx}=[セソ]$である．

(3)図形$D$の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]} \pi$である．

\end{mawarikomi}

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から次の規則に従って動くとする．表，裏がでる確率が等しい硬貨を$2$枚投げて，表が$2$枚でたら右に$1$移動し，裏が$2$枚でたら上に$1$移動し，表$1$枚裏$1$枚でたら右に$1$移動し，さらに上に$1$移動する．以下，この試行を繰り返す．従って，最初表$1$枚裏$1$枚でたら点$\mathrm{P}$の座標は$(1,\ 1)$で，次に表$2$枚でたら点$\mathrm{P}$の座標は$(2,\ 1)$である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)この試行を$3$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)この試行を$4$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)この試行を$5$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[クケコ]}$である．また，そのうち点$\mathrm{P}$が点$(1,\ 1)$を通って座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シスセ]}$である．
(4)この試行を$7$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$が$(3,\ 3)$を通るか，$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{\fboxsep=0pt\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[15mm][c]{\small{ツテトナ}}}}$である．

実数全体を定義域とする関数$f(x)$は奇関数で微分可能であるとする．さらに，$f^\prime(x)$も微分可能で$f^\prime(0)=0$を満たし，$x>0$の範囲で$f^{\prime\prime}(x)>0$であるとする．$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$C_1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$f(a)$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は偶関数であることを示せ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$2$個であることを示し，その$2$点の$x$座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$0<a \leqq 3$の範囲を動くとき，$S(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．

直線$4x-3y=0$と直線$x+2y-11=0$の交点$\mathrm{P}$の座標は$[ア]$である．また，$\mathrm{P}$を通り，直線$2x+5y-11=0$に垂直な直線の方程式は$y=[イ]$である．

直線$y=-2x+b$と曲線$y=|x(x-4)|$が$x$軸上にない共有点をちょうど$3$個もつとき，定数$b$の値は$[エ]$であり，$3$個の共有点の座標は$[オ]$，$[カ]$および$[キ]$である．さらにこのとき，この曲線と直線で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．

$\{a_n\}$を数列とし，$l$を数直線とする．各自然数$n$に対して，座標が$a_n$であるような$l$上の点を$\mathrm{P}_n$とする．次の$2$条件が成り立っているとする．

(i) $a_1=0$，$a_2=1$である．
(ii) 点$\mathrm{P}_{n+2}$は$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$を結ぶ線分の中点である（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．

以下の問に答えよ．

(1)$a_3$の値は$[シ]$，$a_4$の値は$[ス]$である．
(2)$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[セ]$であり，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ソ]$である．