直線$L$を$2x+y=4n$とする．ただし，$n$は自然数とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，直線$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とした三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)直線$M$を$x=k$（ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$）とするとき，直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の直線$M$上の格子点（$x$座標および$y$座標がともに整数である点）のうち，三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ．また，$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]

$t$は実数で$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$を満たすとする．平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$，$\mathrm{Q}(1,\ \sin t)$をとる．このとき以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．このとき$\ell,\ m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．このとき，点$(x,\ y) (x>0,\ y>0)$が$C$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
(3)曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする．ある$t$に対して直線$\ell,\ m$がなす鋭角と直線$m,\ n$がなす鋭角が等しくなる．この状況のもとで，以下の問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$の座標を求めよ．
(ii) 直線$\ell$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく．また，点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち，$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \phi,\ \sin \phi)$とおく．このとき，$\theta=\phi$を示せ．

$3$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-2,\ 7)$を通る$2$次関数$y=f(x)$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$がある．ただし，$-2<p \leqq -1$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ACP}$の面積を$p$の式で表しなさい．
(3)三角形$\mathrm{ACP}$の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ -1)$がある．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$の方程式を求めなさい．
(2)平面$\alpha$に垂直になるように原点$\mathrm{O}$から直線を引いたとき，平面$\alpha$との交点$\mathrm{T}$の座標を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めなさい．

$u$を任意の実数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(u,\ u-1)$を通り，曲線$y=x^2$に接する直線は，ちょうど$2$本あることを示せ．
(2)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$の接点を，それぞれ$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$とするとき，$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$u$の式で表せ．ただし，$\alpha<\beta$とする．
(3)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$u$の式で表せ．
(4)$(3)$で求めた面積$S$の最小値を求めよ．

$p,\ q,\ m$を実数とする．放物線$y=-x^2+2px+q$を$C$とし，その頂点は直線$y=mx-3$上にあるとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$q$を$p,\ m$を用いて表しなさい．
(2)$C$の頂点の$x$座標が$-4$のとき，$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるように，$m$の値の範囲を定めなさい．また，そのとき$C$が$x$軸から切り取る線分の長さを$m$を用いて表しなさい．
(3)$p$の値にかかわらず，$C$と$y$軸の共有点の$y$座標が負となるように，$m$の値の範囲を定めなさい．

座標平面上で，点$\mathrm{P}(s,\ t)$が直線$x-2y=1$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(s+|t|,\ |s|+t)$の軌跡を求め，図示しなさい．

$a,\ b$を定数とする．空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 5,\ 9)$，$\mathrm{B}(3,\ 4,\ 8)$，$\mathrm{C}(2,\ 6,\ 7)$，$\mathrm{D}(a,\ b,\ 12)$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{AG} \perp \mathrm{DG}$，$\mathrm{BG} \perp \mathrm{DG}$であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{G}$の座標と$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．

座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．